A ∇ affin kapcsolattal rendelkező M sima sokaságon a geodézia olyan γ(t) görbe, amelynél a görbe mentén a párhuzamos közlekedés megőrzi a görbéhez tartozó érintővektort, tehát
|
∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma}{\dot {\gamma }}=0}
 |
|
(1) |
a görbe minden egyes pontján, ahol γ ˙ {\displaystyle {\dot {\dot {\gamma}}
a derivált a t {\displaystyle t}
. Pontosabban, a γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}} kovariáns deriváltjának definiálásához
meghatározásához először ki kell terjeszteni γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}}
egy nyitott halmazban folytonosan differenciálható vektormezővé. Az (1) eredő értéke azonban független a kiterjesztés megválasztásától.
Az M-en lokális koordinátákat használva a geodéziai egyenletet (az összegzési konvenciót használva) így írhatjuk fel:
d 2 γ λ d t 2 + Γ μ ν λ d γ μ d t d γ ν d t = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,}
hol γ μ = x μ ∘ γ ( t ) {\displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)}
a γ(t) görbe koordinátái és Γ μ ν λ {\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}}
a ∇ kapcsolat Christoffel-szimbólumai. Ez egy közönséges differenciálegyenlet a koordinátákra. Egyetlen megoldása van, ha adott a kezdeti helyzet és a kezdeti sebesség. Ezért a klasszikus mechanika szempontjából a geodéziákat úgy lehet elképzelni, mint szabad részecskék pályáit egy sokaságban. Valójában a ∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}
azt jelenti, hogy a görbe gyorsulásvektorának nincs komponense a felület irányában (tehát a görbe minden pontján merőleges a felület érintő síkjára). Tehát a mozgást teljes mértékben a felület elhajlása határozza meg. Ez az általános relativitáselmélet elképzelése is, ahol a részecskék geodéziákon mozognak, és a görbületet a gravitáció okozza.
Létezés és egyediségSzerkesztés
A geodéziák lokális létezési és egyediségi tétele kimondja, hogy egy affin kapcsolattal rendelkező sima sokaságon a geodéziák léteznek, és egyediek. Pontosabban:
Az M bármely p pontjára és a TpM (az M p-nél lévő érintőtere) bármely V vektorára létezik egy egyedi γ {\displaystyle \gamma \,}
geodézia: I → M úgy, hogy γ ( 0 ) = p {\displaystyle \gamma (0)=p\,}
és γ ˙ ( 0 ) = V , {\displaystyle {\dot {\dot {\gamma}(0)=V,}
ahol I egy maximálisan nyitott intervallum R-ben, amely 0-t tartalmaz.
A tétel bizonyítása a közönséges differenciálegyenletek elméletéből következik, ha megjegyezzük, hogy a geodéziai egyenlet egy másodrendű ODE. A létezés és az egyediség ezután az előírt kezdeti feltételekkel rendelkező ODE-k megoldásaira vonatkozó Picard-Lindelöf-tételből következik. γ simán függ mind p-től, mind V-től.
Általában I nem lehet az egész R, mint például egy nyitott korong az R2-ben. Bármely γ kiterjed ℝ egészére, ha és csak akkor, ha M geodéziailag teljes.
Geodéziai áramlásSzerkesztés
A geodéziai áramlás egy M sokaság TM érintőkötegére gyakorolt lokális R-hatás, amelyet a következő módon definiálunk
G t ( V ) = γ ˙ V ( t ) {\displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)}
ahol t ∈ R, V ∈ TM és γ V {\displaystyle \gamma _{V}}
jelöli a γ ˙ V ( 0 ) = V {\displaystyle {\dot {\gamma }}_{V}(0)=V}
. Tehát G t {\displaystyle G^{t}}
(V) = exp(tV) a tV vektor exponenciális leképezése. A geodéziai áramlás zárt pályája megfelel egy zárt geodéziának M-en.
Egy (pszeudo-)Riemann-mann sokaságon a geodéziai áramlás azonosítható a kotangens kötegre vonatkozó Hamilton-áramlással. A Hamiltóniát ekkor a (pszeudo-)Riemann-metrika inverze adja, a kanonikus egyformára kiértékelve. Különösen az áramlás megőrzi a g {\displaystyle g} (pszeudo-)Riemann-metrikát.
, azaz g ( G t ( V ) , G t ( V ) ) = g ( V , V ) . {\displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}
Inkábbis, ha V egy egységvektor, γ V {\displaystyle \gamma _{V}}
végig egységsebességű marad, tehát a geodéziai áramlás az egységtangens köteget érinti. Liouville tétele implikálja a kinematikai mérték invariabilitását az egységnyi érintőkötegre.
Geodéziai szórásSzerkesztés
A geodéziai áramlás a görbék egy családját definiálja az érintőkötegben. E görbék deriváltjai definiálnak egy vektormezőt az érintőköteg teljes terén, amelyet geodéziai szórásnak nevezünk.
Pontosabban, egy affin kapcsolat a TTM kettős érintőköteg vízszintes és függőleges kötegekre való felosztását eredményezi:
T T M = H ⊕ V . {\displaystyle TTM=H\oplus V.}
A geodéziai szórás az az egyedi vízszintes vektormező W, amely kielégíti
π ∗ W v = v {\displaystyle \pi _{*}W_{v}=v\,}
minden v ∈ TM pontban; itt π∗ : TTM → TM az érintőköteghez tartozó π : TM → M vetület mentén történő előretolást (differenciált) jelöli.
Általánosabban, ugyanez a konstrukció lehetővé teszi, hogy az érintőkötegre bármely Ehresmann-kapcsolatra vektormezőt konstruáljunk. Ahhoz, hogy az így kapott vektormező szórás legyen (a törölt TM \ {0} érintőkötegen), elég, ha a kapcsolat pozitív átméretezések alatt ekvivariáns: nem kell lineárisnak lennie. Vagyis (vö. Ehresmann-kapcsolat#Vektorkötegek és kovariáns deriváltak) elég, ha a vízszintes eloszlás kielégíti
H λ X = d ( S λ ) X H X {\displaystyle H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,}
minden X ∈ TM \ {0} és λ > 0. Itt d(Sλ) az S λ : X ↦ λ X skaláris homotézis mentén történő előretolás. {\displaystyle S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.}
Az ily módon keletkező nemlineáris kapcsolat egy speciális esete a Finsler sokasághoz tartozó kapcsolat.
Affin és projektív geodéziákSzerkesztés
Az (1) egyenlet invariáns affin átparaméterezések alatt; azaz a
t ↦ a t + b {\displaystyle t\mapsto at+b} formájú paraméterezések alatt.
ahol a és b konstans valós számok. A geodéziai egyenlet tehát amellett, hogy meghatározza a beágyazott görbék egy bizonyos osztályát, a paraméterezések egy preferált osztályát is meghatározza az egyes görbéken. Ennek megfelelően (1) megoldásait affin paraméterű geodéziáknak nevezzük.
Egy affin kapcsolatot az affin paraméterű geodéziák családja határozza meg, torzióig (Spivak 1999, 6. fejezet, I. függelék). Maga a torzió valójában nem befolyásolja a geodéziacsaládot, mivel a geodéziaegyenlet csak a kapcsolat szimmetrikus részétől függ. Pontosabban, ha ∇ , ∇ ¯ {\displaystyle \nabla ,{\bar {\nabla}}
két olyan kapcsolat, hogy a különbségtenzor D ( X , Y ) = ∇ X Y – ∇ ¯ X Y {\displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}}
