Eine Geodäte auf einer glatten Mannigfaltigkeit M mit einer affinen Verbindung ∇ ist definiert als eine Kurve γ(t), bei der der Paralleltransport entlang der Kurve den Tangentenvektor zur Kurve erhält, so
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∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}
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an jedem Punkt der Kurve, wobei γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}
die Ableitung nach t {\displaystyle t}
. Genauer gesagt, um die kovariante Ableitung von γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}
zu definieren, ist es zunächst notwendig, γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}
zu einem stetig differenzierbaren Vektorfeld in einer offenen Menge. Der resultierende Wert von (1) ist jedoch unabhängig von der Wahl der Erweiterung.
Unter Verwendung lokaler Koordinaten auf M können wir die geodätische Gleichung (unter Verwendung der Summationskonvention) schreiben als
d 2 γ λ d t 2 + Γ μ ν λ d γ μ d t d γ ν d t = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,}
wobei γ μ = x μ ∘ γ ( t ) {\displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)}
sind die Koordinaten der Kurve γ(t) und Γ μ ν λ {\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}
sind die Christoffel-Symbole der Verbindung ∇. Es handelt sich um eine gewöhnliche Differentialgleichung für die Koordinaten. Sie hat eine eindeutige Lösung, wenn eine Anfangsposition und eine Anfangsgeschwindigkeit gegeben sind. Aus der Sicht der klassischen Mechanik können Geodäten daher als Bahnen freier Teilchen in einer Mannigfaltigkeit betrachtet werden. Tatsächlich ist die Gleichung ∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}
bedeutet, dass der Beschleunigungsvektor der Kurve keine Komponenten in Richtung der Oberfläche hat (und daher in jedem Punkt der Kurve senkrecht zur Tangentialebene der Oberfläche steht). Die Bewegung ist also vollständig durch die Krümmung der Oberfläche bestimmt. Dies ist auch die Idee der allgemeinen Relativitätstheorie, bei der sich die Teilchen auf Geodäten bewegen und die Krümmung durch die Gravitation verursacht wird.
Existenz und EinzigartigkeitBearbeiten
Der lokale Existenz- und Einzigartigkeitssatz für Geodäten besagt, dass Geodäten auf einer glatten Mannigfaltigkeit mit einer affinen Verbindung existieren und einzigartig sind. Genauer:
Für jeden Punkt p in M und für jeden Vektor V in TpM (dem Tangentenraum an M bei p) existiert eine eindeutige Geodäte γ {\displaystyle \gamma \,}
: I → M, so dass γ ( 0 ) = p {\displaystyle \gamma (0)=p\,}
und γ ˙ ( 0 ) = V , {\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=V,}
wobei I ein maximal offenes Intervall in R ist, das 0 enthält.
Der Beweis dieses Satzes folgt aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, indem man feststellt, dass die geodätische Gleichung eine ODE zweiter Ordnung ist. Existenz und Eindeutigkeit folgen dann aus dem Picard-Lindelöf-Theorem für die Lösungen von ODEs mit vorgeschriebenen Anfangsbedingungen. γ hängt glatt sowohl von p als auch von V ab.
Im Allgemeinen kann I nicht ganz R sein, wie zum Beispiel bei einer offenen Scheibe in R2. Jedes γ erstreckt sich auf ganz ℝ, wenn und nur wenn M geodätisch vollständig ist.
Geodätischer FlussEdit
Geodätischer Fluss ist eine lokale R-Aktion auf dem Tangentenbündel TM einer Mannigfaltigkeit M, die folgendermaßen definiert ist
G t ( V ) = γ ˙ V ( t ) {\displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)}
wobei t ∈ R, V ∈ TM und γ V {\displaystyle \gamma _{V}}
die Geodäte mit den Anfangsdaten γ ˙ V ( 0 ) = V {\displaystyle {\dot {\gamma }}_{V}(0)=V}
. Somit ist G t {\displaystyle G^{t}}
(V) = exp(tV) die Exponentialabbildung des Vektors tV. Ein geschlossener Orbit des geodätischen Flusses entspricht einer geschlossenen Geodäte auf M.
Auf einer (pseudo-)Riemannschen Mannigfaltigkeit wird der geodätische Fluss mit einem Hamiltonschen Fluss auf dem Kotangentenbündel identifiziert. Der Hamiltonian ist dann durch die Umkehrung der (pseudo-)riemannschen Metrik gegeben, die gegen die kanonische Einform ausgewertet wird. Insbesondere bewahrt der Fluss die (pseudo-)Riemannsche Metrik g {\displaystyle g}
, d.h. g ( G t ( V ) , G t ( V ) ) = g ( V , V ) . {\displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}
Insbesondere, wenn V ein Einheitsvektor ist, γ V {\displaystyle \gamma _{V}}
durchgehend die Einheitsgeschwindigkeit, so dass der geodätische Fluss tangential zum Einheitstangentenbündel ist. Der Satz von Liouville impliziert die Invarianz eines kinematischen Maßes auf dem Einheitstangentenbündel.
Geodätischer FlussEdit
Der geodätische Fluss definiert eine Familie von Kurven im Tangentenbündel. Die Ableitungen dieser Kurven definieren ein Vektorfeld auf dem Gesamtraum des Tangentenbündels, das als geodätischer Strahl bezeichnet wird.
Genauer gesagt, führt eine affine Verbindung zu einer Aufspaltung des Doppeltangentenbündels TTM in ein horizontales und ein vertikales Bündel:
T T M = H ⊕ V . {TTM = H ⊕ V.}
Der geodätische Strahl ist das einzige horizontale Vektorfeld W, das die Bedingung
π ∗ W v = v {\displaystyle \pi _{*}W_{v}=v\,}
an jedem Punkt v ∈ TM erfüllt; dabei ist π∗ : TTM → TM den Pushforward (Differential) entlang der Projektion π : TM → M, die dem Tangentenbündel zugeordnet ist.
Allerdings kann man mit derselben Konstruktion ein Vektorfeld für jede Ehresmann-Verbindung auf dem Tangentenbündel konstruieren. Damit das resultierende Vektorfeld ein Spray ist (auf dem gelöschten Tangentenbündel TM \ {0}), genügt es, dass die Verbindung unter positiven Reskalierungen äquivariant ist: sie muss nicht linear sein. Das heißt, (vgl. Ehresmann-Verbindung#Vektorbündel und kovariante Ableitungen) es genügt, dass die horizontale Verteilung die Bedingung
H λ X = d ( S λ ) X H X {\displaystyle H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,}
für jedes X ∈ TM \ {0} und λ > 0 erfüllt. Dabei ist d(Sλ) der Vorwärtsschub entlang der skalaren Homothetie S λ : X ↦ λ X.
Ein Sonderfall einer auf diese Weise entstehenden nichtlinearen Verbindung ist die zu einer Finsler-Mannigfaltigkeit gehörende.
Affine und projektive GeodätenBearbeiten
Gleichung (1) ist invariant unter affinen Reparametrisierungen; das heißt, Parametrisierungen der Form
t ↦ a t + b {\displaystyle t\mapsto at+b}
wobei a und b konstante reelle Zahlen sind. Die geodätische Gleichung gibt also nicht nur eine bestimmte Klasse von eingebetteten Kurven vor, sondern bestimmt auch eine bevorzugte Klasse von Parametrisierungen auf jeder der Kurven. Dementsprechend werden Lösungen von (1) als Geodäten mit affinen Parametern bezeichnet.
Eine affine Verbindung wird durch ihre Familie von affin parametrisierten Geodäten bestimmt, bis hin zur Torsion (Spivak 1999, Kapitel 6, Addendum I). Die Torsion selbst hat keinen Einfluss auf die Familie der Geodäten, da die geodätische Gleichung nur von dem symmetrischen Teil der Verbindung abhängt. Genauer gesagt, wenn ∇ , ∇ ¯ {\displaystyle \nabla ,{\bar {\nabla }}
zwei solche Verbindungen sind, dass der Differenztensor D ( X , Y ) = ∇ X Y – ∇ ¯ X Y {\displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}
