Die kinematische Näherung wird ungültig, wenn das Magnetfeld stark genug wird, um die Fluidbewegungen zu beeinflussen. In diesem Fall wird das Geschwindigkeitsfeld durch die Lorentzkraft beeinflusst, und die Induktionsgleichung ist nicht mehr linear im Magnetfeld. In den meisten Fällen führt dies zu einer Abschwächung der Amplitude des Dynamos. Praktisch alle Dynamos in der Astrophysik und Geophysik sind hydromagnetische Dynamos.
Der Grundgedanke der Theorie ist, dass jedes kleine Magnetfeld im äußeren Kern aufgrund der Lorenzkraft Ströme in der sich dort bewegenden Flüssigkeit erzeugt. Diese Ströme erzeugen aufgrund des Ampere’schen Gesetzes ein weiteres Magnetfeld. Mit der Flüssigkeitsbewegung werden die Ströme so transportiert, dass das Magnetfeld stärker wird (solange u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \mal \mathbf {B} )}
ist negativ). So kann ein „Saatmagnetfeld“ immer stärker werden, bis es einen Wert erreicht, der in Beziehung zu den vorhandenen nichtmagnetischen Kräften steht.
Numerische Modelle werden verwendet, um vollständig nichtlineare Dynamos zu simulieren. Die folgenden Gleichungen werden verwendet:
- Die oben dargestellte Induktionsgleichung:
- Maxwell’sche Gleichungen für vernachlässigbares elektrisches Feld:
∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}
∇ × B = μ 0 J {\displaystyle \nabla \mal \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
- Die Kontinuitätsgleichung für die Massenerhaltung, für die oft die Boussinesq-Approximation verwendet wird:
∇ ⋅ u = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}
- Die Navier-Stokes-Gleichung für die Impulserhaltung, wiederum in derselben Näherung, mit der Magnetkraft und der Gravitationskraft als äußere Kräfte:
D u D t = – 1 ρ 0 ∇ p + ν ∇ 2 u + ρ ′ g + 2 Ω × u + Ω × Ω × R + 1 ρ 0 J × B , {\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\rho ‚\mathbf {g} +2\mathbf {\Omega } \Zeiten \mathbf {u} +\mathbf {\Omega } \Zeiten \mathbf {\Omega } \Zeiten \mathbf {R} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\mathbf {J} \mal \mathbf {B} ,}
wobei ν {\displaystyle \nu }
die kinematische Viskosität ist, ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}}
ist die mittlere Dichte und ρ ′ {\displaystyle \rho ‚}
ist die relative Dichtestörung, die für Auftrieb sorgt (bei thermischer Konvektion ρ ′ = α Δ T {\displaystyle \rho ‚=\alpha \Delta T}
wobei α {\displaystyle \alpha }
der Wärmeausdehnungskoeffizient ist), Ω {\displaystyle \Omega }
die Rotationsrate der Erde ist und J {\displaystyle \mathbf {J} }
ist die elektrische Stromdichte.
- Eine Transportgleichung, gewöhnlich für Wärme (manchmal für die Konzentration leichter Elemente):
∂ T ∂ t = κ ∇ 2 T + ϵ {\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\kappa \nabla ^{2}T+\epsilon }
wobei T die Temperatur ist, κ = k / ρ c p {\displaystyle \kappa =k/\rho c_{p}}
die Temperaturleitfähigkeit mit k Wärmeleitfähigkeit ist, c p {\displaystyle c_{p}}
Wärmekapazität, und ρ {\displaystyle \rho }
Dichte, und ϵ {\displaystyle \epsilon }
ist eine optionale Wärmequelle. Häufig ist der Druck der dynamische Druck, wobei der hydrostatische Druck und das zentripetale Potenzial entfernt werden.
Diese Gleichungen werden dann dimensionslos gemacht, indem man die dimensionslosen Parameter einführt,
R a = g α T D 3 ν κ , E = ν Ω D 2 , P r = ν κ , P m = ν η {\displaystyle Ra={\frac {g\alpha TD^{3}}{\nu \kappa }},E={\frac {\nu }{\Omega D^{2}},Pr={\frac {\nu }{\kappa }},Pm={\frac {\nu }{\eta }}
wobei Ra die Rayleigh-Zahl, E die Ekman-Zahl, Pr und Pm die Prandtl- und magnetische Prandtl-Zahl sind. Die Skalierung des Magnetfeldes erfolgt häufig in Einheiten der Elsasser-Zahl B = ( ρ Ω / σ ) 1 / 2 {\displaystyle B=(\rho \Omega /\sigma )^{1/2}}
.
Energieumwandlung zwischen magnetischer und kinematischer EnergieEdit
Das Skalarprodukt der obigen Form der Navier-Stokes-Gleichung mit ρ 0 u {\displaystyle \rho _{0}\mathbf {u} }
ergibt die Steigerungsrate der kinetischen Energiedichte, ( 1 / 2 ) ρ 0 u 2 {\displaystyle (1/2)\rho _{0}u^{2}}
, auf der linken Seite. Der letzte Term auf der rechten Seite ist dann u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
, der lokale Beitrag zur kinetischen Energie aufgrund der Lorentzkraft.
Das Skalarprodukt der Induktionsgleichung mit ( 1 / μ 0 ) B {\displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} }
ergibt die Steigerungsrate der magnetischen Energiedichte, ( 1 / 2 μ 0 ) B 2 {\displaystyle (1/2\mu _{0})B^{2}}
, auf der linken Seite. Der letzte Term auf der rechten Seite ist dann ( 1 / μ 0 ) B ⋅ ( ∇ × ( u × B ) ) {\displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} \cdot \left(\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )\right)}
. Da die Gleichung volumenintegriert ist, ist dieser Term bis auf einen Randterm (und unter doppelter Verwendung der Identität des skalaren Tripelprodukts) äquivalent zu – u ⋅ ( ( 1 / μ 0 ) ( ∇ × B ) × B ) ) = – u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot \left((1/\mu _{0})(\nabla \times \mathbf {B} )\times \mathbf {B} )\right)=-\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
(wobei eine der Maxwellschen Gleichungen verwendet wurde). Dies ist der lokale Beitrag zur magnetischen Energie aufgrund der Flüssigkeitsbewegung.
Der Term – u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
ist die Rate der Umwandlung von kinetischer Energie in magnetische Energie. Diese muss zumindest in einem Teil des Volumens nicht negativ sein, damit der Dynamo ein Magnetfeld erzeugen kann.
Aus dem obigen Diagramm ist nicht ersichtlich, warum dieser Term positiv sein sollte. Ein einfaches Argument kann auf der Betrachtung von Nettoeffekten beruhen. Um das Magnetfeld zu erzeugen, muss sich der elektrische Nettostrom um die Rotationsachse des Planeten wickeln. In diesem Fall muss der Nettofluss der leitenden Materie in Richtung der Rotationsachse fließen, damit der Term positiv ist. Das Diagramm zeigt nur einen Nettostrom von den Polen zum Äquator. Die Massenerhaltung erfordert jedoch einen zusätzlichen Fluss vom Äquator in Richtung der Pole. Wenn dieser Fluss entlang der Rotationsachse verliefe, würde der Kreislauf durch einen Fluss von den gezeigten Strömen in Richtung der Rotationsachse vervollständigt, was den gewünschten Effekt zur Folge hätte.
Größenordnung des vom Erddynamo erzeugten MagnetfeldesEdit
Die obige Formel für die Umwandlungsrate von kinetischer Energie in magnetische Energie ist äquivalent zu einer Arbeitsrate, die durch eine Kraft von J × B {\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
auf die äußere Kernmaterie, deren Geschwindigkeit u {\displaystyle \mathbf {u} }
. Diese Arbeit ist das Ergebnis der nichtmagnetischen Kräfte, die auf die Flüssigkeit wirken.
Von diesen Kräften sind die Gravitationskraft und die Zentrifugalkraft konservativ und haben daher keinen Gesamtbeitrag zur Bewegung des Fluids in geschlossenen Kreisläufen. Die Ekman-Zahl (oben definiert), die das Verhältnis zwischen den beiden verbleibenden Kräften, nämlich der Viskosität und der Corioliskraft, darstellt, ist im äußeren Erdkern sehr niedrig, da die Viskosität gering ist (1,2-1.5 x10-2 Pascal-Sekunde) aufgrund seiner Flüssigkeit.
Der wichtigste zeitlich gemittelte Beitrag zur Arbeit kommt also von der Corioliskraft, deren Größe – 2 ρ Ω × u {\displaystyle -2\rho \,\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} }
, obwohl diese Menge und J × B {\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
nur indirekt zusammenhängen und im Allgemeinen lokal nicht gleich sind (sie beeinflussen sich also gegenseitig, aber nicht am selben Ort und zur selben Zeit).
Die Stromdichte J ist selbst das Ergebnis des Magnetfeldes nach dem Ohmschen Gesetz. Auch hier ist es aufgrund der Bewegung der Materie und des Stromflusses nicht unbedingt das Feld am selben Ort und zur selben Zeit. Dennoch können diese Beziehungen verwendet werden, um Größenordnungen der betreffenden Größen abzuleiten.
In Bezug auf die Größenordnung sind J B ∼ ρ Ω u {\displaystyle J\,B\sim \rho \,\Omega \,u}
und J ∼ σ u B {\displaystyle J\sim \sigma uB}
, was σ u B 2 ∼ ρ Ω u {\displaystyle \sigma \,u\,B^{2}\sim \rho \,\Omega \,u}
, oder: B ∼ ρ Ω σ {\displaystyle B\sim {\sqrt {\frac {\rho \,\Omega }{\sigma }}}}
Das exakte Verhältnis zwischen beiden Seiten ist die Quadratwurzel der Elsasser-Zahl.
Beachten Sie, dass die Richtung des Magnetfeldes nicht aus dieser Näherung abgeleitet werden kann (zumindest nicht sein Vorzeichen), da sie quadratisch erscheint und in der Tat manchmal umgekehrt ist, obwohl sie im Allgemeinen auf einer ähnlichen Achse liegt wie die von Ω {\displaystyle \mathbf {\Omega } }
.
Für den äußeren Erdkern beträgt ρ etwa 104 kg/m3, Ω=2π/Tag = 7,3×10-5 Sekunden und σ etwa 107Ω-1m-1.Das ergibt 2,7×10-4 Tesla.
Das Magnetfeld eines magnetischen Dipols hat eine inverse kubische Abstandsabhängigkeit, so dass seine Größenordnung an der Erdoberfläche durch Multiplikation des obigen Ergebnisses mit (Erdkern/Erde)3 = (2890/6370)3 = 0,093 angenähert werden kann, was 2,5×10-5 Tesla ergibt, nicht weit entfernt vom gemessenen Wert von 3×10-5 Tesla am Äquator.