Aproximația cinematică devine invalidă atunci când câmpul magnetic devine suficient de puternic pentru a afecta mișcările fluidelor. În acest caz, câmpul de viteze devine afectat de forța Lorentz și astfel ecuația de inducție nu mai este liniară în câmpul magnetic. În cele mai multe cazuri, acest lucru duce la o atenuare a amplitudinii dinamoviei. Astfel de dinamoare sunt uneori denumite și dinamo hidromagnetice. practic toate dinamoarele din astrofizică și geofizică sunt dinamoare hidromagnetice.
Ideea principală a teoriei este că orice câmp magnetic mic existent în nucleul exterior creează curenți în fluidul în mișcare de acolo datorită forței Lorenz. Acești curenți creează un câmp magnetic suplimentar datorită legii lui Ampere. Odată cu mișcarea fluidului, curenții sunt purtați în așa fel încât câmpul magnetic devine mai puternic (atâta timp cât u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
este negativ). Astfel, un câmp magnetic „sămânță” poate deveni din ce în ce mai puternic până când atinge o anumită valoare care este legată de forțele nemagnetice existente.
Modelurile numerice sunt utilizate pentru a simula dinamosele complet neliniare. Se folosesc următoarele ecuații:
- Ecuația inducției, prezentată mai sus.
- Ecuațiile lui Maxwell pentru un câmp electric neglijabil:
∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}}.
∇ × B = μ 0 J {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
- Ecuația de continuitate pentru conservarea masei, pentru care se folosește adesea aproximația Boussinesq:
∇ ⋅ u = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}
- Ecuația Navier-Stokes pentru conservarea momentului, din nou în aceeași aproximație, cu forța magnetică și forța de gravitație ca forțe externe:
D u D t = – 1 ρ 0 ∇ p + ν ∇ 2 u + ρ ′ g + 2 Ω × u + Ω × Ω × R + 1 ρ 0 J × B , {\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\rho ‘\mathbf {g} +2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} +\mathbf {\Omega } \times \mathbf {\Omega} \times \mathbf {R} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\mathbf {J} \times \mathbf {B} ,}
unde ν {\displaystyle \nu }
este vâscozitatea cinematică, ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}}
este densitatea medie și ρ ′ {\displaystyle \rho ‘}
este perturbația densității relative care asigură flotabilitatea (pentru convecția termică ρ ′ = α Δ T {\displaystyle \rho ‘=\alpha \Delta T}
unde α {\displaystyle \alpha }
este coeficientul de dilatare termică), Ω {\displaystyle \Omega }
este rata de rotație a Pământului, iar J {\displaystyle \mathbf {J} }
este densitatea curentului electric.
- O ecuație de transport, de obicei a căldurii (uneori a concentrației elementelor ușoare):
∂ T ∂ t = κ ∇ 2 T + ϵ {\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\kappa \nabla ^{2}T+\epsilon }
unde T este temperatura, κ = k / ρ c p {\displaystyle \kappa =k/\rho c_{p}}
este difuzivitatea termică cu k conductivitate termică, c p {\displaystyle c_{p}}
capacitatea termică, iar ρ {\displaystyle \rho }
densitatea, și ϵ {\displaystyle \epsilon }
este o sursă de căldură opțională. Adesea, presiunea este presiunea dinamică, cu presiunea hidrostatică și potențialul centripetal eliminate.
Aceste ecuații sunt apoi nedimensionalizate, introducându-se parametrii nedimensionali,
R a = g α T D 3 ν κ , E = ν Ω D 2 , P r = ν κ , P m = ν η {\displaystyle Ra={\frac {g\alpha TD^{3}}}{\nu \kappa }},E={\frac {\nu }{\Omega D^{2}}},Pr={\frac {\nu }{\kappa }},Pm={\frac {\nu }{\eta }}}
unde Ra este numărul Rayleigh, E numărul Ekman, Pr și Pm numerele Prandtl și Prandtl magnetic. Scalarea câmpului magnetic este adesea în unități ale numărului Elsasser B = ( ρ Ω / σ ) 1 / 2 {\displaystyle B=(\rho \Omega /\sigma )^{1/2}}.
.
Conversia energiei între energia magnetică și cea cinematicăEdit
Produsul scalar al formei de mai sus a ecuației Navier-Stokes cu ρ 0 u {\displaystyle \rho _{0}\mathbf {u} }
dă rata de creștere a densității de energie cinetică, ( 1 / 2 ) ρ 0 u 2 {\displaystyle (1/2)\rho _{0}u^{2}}}.
, în partea stângă. Ultimul termen din partea dreaptă este atunci u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
, contribuția locală la energia cinetică datorată forței Lorentz.
Produsul scalar al ecuației de inducție cu ( 1 / μ 0 ) B {\displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} }
dă rata de creștere a densității de energie magnetică, ( 1 / 2 μ 0 ) B 2 {\displaystyle (1/2\mu _{0})B^{2}}}.
, în partea stângă. Ultimul termen din partea dreaptă este atunci ( 1 / μ 0 ) B ⋅ ( ∇ × ( u × B ) ) {\displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} \cdot \left(\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )\right)}
. Deoarece ecuația este integrată în volum, acest termen este echivalent până la un termen limită (și cu dubla utilizare a identității produsului triplu scalar) cu – u ⋅ ( ( ( 1 / μ 0 ) ( ∇ × B ) × B ) ) ) = – u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot \left((1/\mu _{0})(\nabla \times \mathbf {B} )\times \mathbf {B} )\right)=-\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
(unde s-a folosit una dintre ecuațiile lui Maxwell). Aceasta este contribuția locală la energia magnetică datorată mișcării fluidului.
Așa, termenul – u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
este rata de transformare a energiei cinetice în energie magnetică. Aceasta trebuie să fie non-negativă cel puțin într-o parte a volumului, pentru ca dinamul să producă câmp magnetic.
Din diagrama de mai sus, nu este clar de ce acest termen ar trebui să fie pozitiv. Un argument simplu se poate baza pe luarea în considerare a efectelor nete. Pentru a crea câmpul magnetic, curentul electric net trebuie să se înfășoare în jurul axei de rotație a planetei. În acest caz, pentru ca acest termen să fie pozitiv, fluxul net de materie conductoare trebuie să se îndrepte spre axa de rotație. Diagrama arată doar un flux net de la poli spre ecuator. Cu toate acestea, conservarea masei necesită un flux suplimentar de la ecuator spre poli. Dacă acest flux ar fi de-a lungul axei de rotație, asta implică faptul că circulația ar fi completată de un flux dinspre cele arătate spre axa de rotație, producând efectul dorit.
Ordinul de mărime al câmpului magnetic creat de dinamoara PământuluiEdit
Formula de mai sus pentru rata de conversie a energiei cinetice în energie magnetică, este echivalentă cu o rată a lucrului efectuat de o forță de J × B {\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
asupra materiei din nucleul exterior, a cărei viteză este u {\displaystyle \mathbf {u} }
. Acest lucru este rezultatul forțelor nemagnetice care acționează asupra fluidului.
Dintre acestea, forța gravitațională și forța centrifugă sunt conservative și, prin urmare, nu au o contribuție globală la fluidul care se deplasează în bucle închise. Numărul Ekman (definit mai sus), care este raportul dintre cele două forțe rămase, și anume vâscozitatea și forța Coriolis, este foarte mic în interiorul nucleului exterior al Pământului, deoarece vâscozitatea acestuia este scăzută (1,2-1.5 x10-2 pascal-secundă ) datorită lichidității sale.
Din acest motiv, principala contribuție medie în timp la lucru este dată de forța Coriolis, a cărei mărime este – 2 ρ Ω × u {\displaystyle -2\rho \,\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} }
, deși această cantitate și J × B {\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
sunt legate doar indirect și nu sunt, în general, egale la nivel local (deci se afectează reciproc, dar nu în același loc și timp).
Densitatea de curent J este ea însăși rezultatul câmpului magnetic conform legii lui Ohm. Din nou, din cauza mișcării materiei și a fluxului de curent, acesta nu este neapărat câmpul în același loc și timp. Cu toate acestea, aceste relații pot fi totuși folosite pentru a deduce ordinele de mărime ale mărimilor în cauză.
În termeni de ordine de mărime, J B ∼ ρ Ω u {\displaystyle J\,B\sim \rho \,\Omega \,u}
și J ∼ σ u B {\displaystyle J\sim \sigma uB}
, ceea ce dă σ u B 2 ∼ ρ Ω u {\displaystyle \sigma \,u\,B^{2}\sim \rho \,\Omega \,u}
, sau: B ∼ ρ Ω σ {\displaystyle B\sim {\sqrt {\frac {\rho \,\Omega }{\sigma }}}}
Raportul exact dintre cele două părți este rădăcina pătrată a numărului lui Elsasser.
Rețineți că direcția câmpului magnetic nu poate fi dedusă din această aproximare (cel puțin nu și semnul său), deoarece apare la pătrat, și este, într-adevăr, uneori inversată, deși în general se află pe o axă similară cu cea a lui Ω {\displaystyle \mathbf {\Omega } }
.
Pentru nucleul exterior al Pământului, ρ este de aproximativ 104 kg/m3, Ω=2π/zi = 7,3×10-5 secunde și σ este de aproximativ 107Ω-1m-1.Aceasta dă 2,7×10-4 Tesla.
Câmpului magnetic al unui dipol magnetic are o dependență cubică inversă în funcție de distanță, astfel încât ordinul său de mărime la suprafața Pământului poate fi aproximat prin înmulțirea rezultatului de mai sus cu (nucleul exterior al Pământului/TERREU)3 = (2890/6370)3 = 0,093, ceea ce dă 2,5×10-5 Tesla, nu foarte departe de valoarea măsurată de 3×10-5 Tesla la ecuator.
.