Spațiu de fază clasicEdit
Descrierea unui sistem clasic cu F grade de libertate poate fi exprimată în termenii unui spațiu de fază de 2F dimensiuni, ale cărui axe de coordonate constau din F coordonate generalizate qi ale sistemului și F momente generalizate pi. Microstadiul unui astfel de sistem va fi specificat de un singur punct din spațiul de fază. Dar pentru un sistem cu un număr mare de grade de libertate, microstarea sa exactă nu este de obicei importantă. Astfel, spațiul de fază poate fi împărțit în celule de mărimea h0=ΔqiΔpi , fiecare fiind tratată ca o microstare. Acum, microstatele sunt discrete și numărabile, iar energia internă U nu mai are o valoare exactă, ci se situează între U și U+δU, cu δ U ≪ U {\textstyle \delta U\ll U}.
.
Numărul de microstații Ω pe care le poate ocupa un sistem închis este proporțional cu volumul spațiului său de fază:
unde 1 δ U ( H ( x ) – U ) {\textstyle \mathbf {1} _{\delta U}(H(x)-U)}
este o funcție indicatoare. Ea este 1 dacă funcția Hamilton H(x) în punctul x = (q,p) din spațiul de fază este cuprinsă între U și U+ δU și 0 în caz contrar. Constanta 1 h 0 F {\textstyle {\frac {1}{h_{0}^{\mathcal {F}}}}}
face ca Ω(U) să fie adimensional. Pentru un gaz ideal este Ω ( U ) ∝ F U F F 2 – 1 δ U {\displaystyle \Omega (U)\propto {\mathcal {F}}U^{{\frac {\mathcal {F}}{2}}}-1}}\delta U}
.
În această descriere, particulele se pot distinge. Dacă poziția și impulsul a două particule sunt schimbate, noua stare va fi reprezentată de un punct diferit în spațiul de fază. În acest caz, un singur punct va reprezenta o microstare. În cazul în care un subset de M particule nu se pot distinge între ele, atunci cele M! permutări sau schimburi posibile ale acestor particule vor fi considerate ca făcând parte dintr-o singură microstare. Ansamblul de microstate posibile se reflectă, de asemenea, în constrângerile asupra sistemului termodinamic.
De exemplu, în cazul unui gaz simplu de N particule cu energia totală U conținute într-un cub de volum V, în care o probă de gaz nu poate fi distinsă de nicio altă probă prin mijloace experimentale, o microstare va consta din cele N! puncte în spațiul de fază, iar ansamblul microstatelor va fi constrâns ca toate coordonatele de poziție să se situeze în interiorul cutiei, iar momentele să se situeze pe o suprafață hipersferică în coordonate de impuls cu raza U. Dacă, pe de altă parte, sistemul este format dintr-un amestec de două gaze diferite, ale căror eșantioane pot fi distinse unul de celălalt, să zicem A și B, atunci numărul microstatelor crește, deoarece două puncte în care o particulă A și B sunt schimbate în spațiul de fază nu mai fac parte din aceeași microstată. Două particule care sunt identice pot fi totuși distinse pe baza, de exemplu, a locației lor. (A se vedea entropia configurațională.) În cazul în care cutia conține particule identice și se află în echilibru, iar o partiție este introdusă, împărțind volumul în două, particulele dintr-o cutie se disting acum de cele din cea de-a doua cutie. În spațiul de fază, cele N/2 particule din fiecare cutie sunt acum restrânse la un volum V/2, iar energia lor este restrânsă la U/2, iar numărul de puncte care descriu o singură microstare se va schimba: descrierea spațiului de fază nu mai este aceeași.
Acest lucru are implicații atât în paradoxul Gibbs, cât și în numărarea corectă a lui Boltzmann. În ceea ce privește numărarea Boltzmann, multiplicitatea punctelor din spațiul de fază este cea care reduce efectiv numărul microstatelor și face ca entropia să fie extinsă. În ceea ce privește paradoxul lui Gibb, rezultatul important este că creșterea numărului de microstații (și, prin urmare, creșterea entropiei) care rezultă din inserția partiției este exact egalată de scăderea numărului de microstații (și, prin urmare, scăderea entropiei) care rezultă din reducerea volumului disponibil pentru fiecare particulă, ceea ce duce la o schimbare netă de entropie de zero.
.