Un izomorfism de la un grup (G, ∗) la el însuși se numește automorfism al acestui grup. Astfel, este o bijecție f : G → G {\displaystyle f:G\rightarrow G}.
astfel încât f ( u ) ∗ f ( v ) = f ( u ∗ v ) {\displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v)}
.
Un automorfism pune întotdeauna în corespondență identitatea cu el însuși. Imaginea sub un automorfism a unei clase de conjugare este întotdeauna o clasă de conjugare (aceeași sau alta). Imaginea unui element are același ordin ca și elementul respectiv.
Compoziția a două automorfisme este din nou un automorfism, iar cu această operație ansamblul tuturor automorfismelor unui grup G, notat cu Aut(G), formează el însuși un grup, grupul de automorfisme al lui G.
Pentru toate grupurile abeliene există cel puțin automorfismul care înlocuiește elementele grupului cu inversul lor. Cu toate acestea, în grupurile în care toate elementele sunt egale cu inversul lor, acesta este automorfismul trivial, de exemplu în cvadruplul Klein. Pentru acest grup, toate permutările celor trei elemente neidentice sunt automorfisme, astfel încât grupul automorfismelor este izomorf cu S3 și Dih3.
În Zp pentru un număr prim p, un element neidentice poate fi înlocuit cu oricare altul, cu modificări corespunzătoare în celelalte elemente. Grupul de automorfism este izomorf cu Zp – 1. De exemplu, pentru n = 7, înmulțirea tuturor elementelor din Z7 cu 3, modulo 7, este un automorfism de ordinul 6 în grupul automorfismelor, deoarece 36 ≡ 1 (modulo 7), în timp ce puterile inferioare nu dau 1. Astfel, acest automorfism generează Z6. Mai există încă un automorfism cu această proprietate: înmulțirea tuturor elementelor din Z7 cu 5, modulo 7. Prin urmare, acestea două corespund elementelor 1 și 5 din Z6, în această ordine sau invers.
Grupul de automorfism al lui Z6 este izomorf cu Z2, deoarece numai fiecare dintre cele două elemente 1 și 5 generează Z6, astfel încât, în afară de identitate, nu putem decât să le interschimbăm.
Grupul de automorfism al lui Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 = Dih2 ⊕ Z2 are ordinul 168, după cum se poate afla în felul următor. Toate cele 7 elemente neidentice joacă același rol, astfel încât putem alege care joacă rolul de (1,0,0). Oricare dintre cele 6 elemente rămase poate fi ales să joace rolul de (0,1,0). Acest lucru determină care corespunde lui (1,1,0). Pentru (0,0,1) putem alege dintre 4, ceea ce determină restul. Astfel, avem 7 × 6 × 4 = 168 automorfisme. Acestea corespund celor din planul Fano, din care cele 7 puncte corespund celor 7 elemente neidentice. Liniile care unesc trei puncte corespund operației de grup: a, b și c pe o linie înseamnă a + b = c, a + c = b și b + c = a. Vezi și grup liniar general pe câmpuri finite.
Pentru grupurile abeliene toate automorfismele, cu excepția celui trivial, se numesc automorfisme exterioare.
Grupurile ne-abeliene au un grup de automorfisme interioare ne-trivial și, eventual, și automorfisme exterioare.
.