O geodezică pe o mulțime netedă M cu o conexiune afină ∇ este definită ca o curbă γ(t) astfel încât transportul paralel de-a lungul curbei conservă vectorul tangent la curbă, deci
|
∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}}
 |
|
(1) |
în fiecare punct de-a lungul curbei, unde γ ˙ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}}.
este derivata în raport cu t {\displaystyle t}
. Mai precis, pentru a defini derivata covariantă a lui γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}}.
este necesar mai întâi să se extindă γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}}
la un câmp vectorial continuu diferențiabil într-un ansamblu deschis. Cu toate acestea, valoarea rezultată a lui (1) este independentă de alegerea extensiei.
Utilizând coordonate locale pe M, putem scrie ecuația geodezică (folosind convenția de însumare) ca
d 2 γ λ d t 2 + Γ μ ν λ d γ γ μ d t d γ ν d t = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}}{dt}}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,}
unde γ μ = x μ ∘ γ ( t ) {\displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)}
sunt coordonatele curbei γ(t) și Γ μ ν λ {\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}
sunt simbolurile Christoffel ale conexiunii ∇. Aceasta este o ecuație diferențială ordinară pentru coordonate. Ea are o soluție unică, date fiind o poziție inițială și o viteză inițială. Prin urmare, din punctul de vedere al mecanicii clasice, geodezicele pot fi considerate ca fiind traiectorii ale unor particule libere într-o mulțime. Într-adevăr, ecuația ∇ γ ˙ γ ˙ γ ˙ = 0 {\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}}{\dot {\gamma }}=0}
înseamnă că vectorul accelerație al curbei nu are componente în direcția suprafeței (și, prin urmare, este perpendicular pe planul tangent la suprafață în fiecare punct al curbei). Așadar, mișcarea este complet determinată de încovoierea suprafeței. Aceasta este, de asemenea, ideea relativității generale, în care particulele se deplasează pe geodezice, iar curbura este cauzată de gravitație.
Existență și unicitateEdit
Teorema existenței și unicității locale pentru geodezice afirmă că geodezicele pe o mulțime netedă cu o conexiune afină există și sunt unice. Mai precis:
Pentru orice punct p din M și pentru orice vector V în TpM (spațiul tangent la M în p) există o geodezică unică γ {\displaystyle \gamma \,}
: I → M astfel încât γ ( 0 ) = p {\displaystyle \gamma (0)=p\,}
și γ ˙ ( 0 ) = V , {\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=V,}
unde I este un interval maxim deschis în R care conține 0.
Demonstrarea acestei teoreme rezultă din teoria ecuațiilor diferențiale ordinare, observând că ecuația geodezică este o ODE de ordinul doi. Existența și unicitatea rezultă apoi din teorema Picard-Lindelöf pentru soluțiile ODE-urilor cu condiții inițiale prescrise. γ depinde fără probleme atât de p cât și de V.
În general, I poate să nu fie tot R, ca de exemplu pentru un disc deschis în R2. Orice γ se extinde la tot ℝ dacă și numai dacă M este complet din punct de vedere geodezic.
Fluxul geodezicEdit
Fluxul geodezic este o acțiune locală R asupra fasciculului tangent TM al unei mulțimi M definită în felul următor
G t ( V ) = γ ˙ V ( t ) {\displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}}_{V}(t)}
unde t ∈ R, V ∈ TM și γ V {\displaystyle \gamma _{V}}
denotă geodezica cu datele inițiale γ ˙ V ( 0 ) = V {\displaystyle {\dot {\gamma }}}_{V}(0)=V}
. Astfel, G t {\displaystyle G^{t}}
(V) = exp(tV) este harta exponențială a vectorului tV. O orbită închisă a fluxului geodezic corespunde unei geodezice închise pe M.
Pe o mulțime (pseudo-)riemanniană, fluxul geodezic se identifică cu un flux hamiltonian pe fasciculul cotangent. Hamiltonianul este dat atunci de inversul metricii (pseudo-)riemanniene, evaluat în raport cu forma unică canonică. În special, fluxul conservă metrica (pseudo-)riemanniană g {\displaystyle g}.
, adică g ( G t ( V ) , G t ( V ) ) = g ( V , V ) . {\displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}
În particular, atunci când V este un vector unitar, γ V {\displaystyle \gamma _{V}}
rămâne viteză unitară în tot acest timp, astfel încât fluxul geodezic este tangent la fasciculul tangent unitar. Teorema lui Liouville implică invarianța unei măsuri cinematice pe fasciculul tangent unitar.
Jet geodezicEdit
Curentul geodezic definește o familie de curbe în fasciculul tangent. Derivatele acestor curbe definesc un câmp vectorial pe spațiul total al fasciculului tangent, cunoscut sub numele de jet geodezic.
Mai precis, o conexiune afină dă naștere unei divizări a dublului fascicul tangent TTM în fascicule orizontal și vertical:
T T T M = H ⊕ V . {\displaystyle TTM=H\oplus V.}
Spray-ul geodezic este unicul câmp vectorial orizontal W care satisface
π ∗ W v = v {\displaystyle \pi _{*}W_{v}=v\,}
în fiecare punct v ∈ TM; aici π∗ : TTM → TM denotă înaintarea (diferențială) de-a lungul proiecției π : TM → M asociată fasciculului tangent.
Mai general, aceeași construcție permite construirea unui câmp vectorial pentru orice conexiune Ehresmann pe fasciculul tangent. Pentru ca câmpul vectorial rezultat să fie o pulverizare (pe fasciculul tangent eliminat TM \ {0}) este suficient ca conexiunea să fie echivocă sub rescalări pozitive: nu este necesar ca aceasta să fie liniară. Adică, (cf. conexiunea Ehresmann#Pachete vectoriale și derivate covariante) este suficient ca distribuția orizontală să satisfacă
H λ X = d ( S λ ) X H X H X {\displaystyle H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,}
pentru orice X ∈ TM \ {0} și λ > 0. Aici d(Sλ) este împingerea înainte de-a lungul omotetei scalare S λ : X ↦ λ X . {\displaystyle S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.}
Un caz particular al unei conexiuni neliniare care apare în acest mod este cel asociat unei mulțimi Finsler.
Geodezice afine și proiectiveEdit
Ecuația (1) este invariantă sub reparametrizări afine; adică, parametrizări de forma
t ↦ a t + b {\displaystyle t\mapsto at+b}.
unde a și b sunt numere reale constante. Astfel, pe lângă specificarea unei anumite clase de curbe înglobate, ecuația geodezică determină și o clasă preferată de parametrizări pe fiecare dintre curbe. În consecință, soluțiile lui (1) se numesc geodezice cu parametru afin.
O conexiune afină este determinată de familia sa de geodezice parametrizate afin, până la torsiune (Spivak 1999, Capitolul 6, Addendum I). Torsiunea în sine nu afectează, de fapt, familia de geodezice, deoarece ecuația geodezică depinde doar de partea simetrică a conexiunii. Mai precis, dacă ∇ , ∇ ¯ {\displaystyle \nabla ,{\bar {\nabla }}}
sunt două conexiuni astfel încât tensorul de diferență D ( X , Y ) = ∇ X Y – ∇ ¯ X Y {\displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}}
