Przybliżenie kinematyczne staje się nieważne, gdy pole magnetyczne staje się wystarczająco silne, aby wpływać na ruchy płynu. W takim przypadku na pole prędkości zaczyna oddziaływać siła Lorentza, a więc równanie indukcji nie jest już liniowe w polu magnetycznym. W większości przypadków prowadzi to do wyciszenia amplitudy dynama. Praktycznie wszystkie dynama w astrofizyce i geofizyce są dynamami hydromagnetycznymi.
Główną ideą teorii jest to, że każde małe pole magnetyczne istniejące w zewnętrznym jądrze tworzy prądy w poruszającym się tam płynie z powodu siły Lorenza. Prądy te tworzą dalsze pole magnetyczne zgodnie z prawem Ampere’a. Wraz z ruchem płynu prądy te są przenoszone w taki sposób, że pole magnetyczne staje się silniejsze (tak długo, jak u ⋅ ( J × B ) {{displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
jest ujemne). Tak więc „zalążkowe” pole magnetyczne może stawać się coraz silniejsze, aż osiągnie pewną wartość, która jest związana z istniejącymi siłami niemagnetycznymi.
Modele numeryczne są używane do symulacji w pełni nieliniowych dynamo. Wykorzystuje się następujące równania:
- Równanie indukcji, przedstawione powyżej.
- Równania Maxwella dla znikomego pola elektrycznego:
∇ ⋅ B = 0 {przykład ∇ ∇ ⋅ B =0} }
- Równanie ciągłości dla zachowania masy, dla którego często stosuje się przybliżenie Boussinesqa:
∇ ⋅ u = 0 , {
- Równanie Naviera-Stokesa dla zachowania pędu, znów w tym samym przybliżeniu, z siłą magnetyczną i siłą grawitacji jako siłami zewnętrznymi:
D u D t = – 1 ρ 0 ∇ p + ν ∇ 2 u + ρ ′ g + 2 Ω × u + Ω × Ω × R + 1 ρ 0 J × B , {{displaystyle { {frac {Dathbf {u} {{Dt}}=-{mathbfrac {1}{{0}}}}nabla p + ^{2}\mathbf {u} +\nho '\mathbf {g} +2 ™mathbf {g} ™mega } \™times ™mathbf {u} + ™mathbf {Omega } \times \mathbf {\Omega } \times \mathbf {R} +{\frac {1}{\rho _{0}}} \mathbf {{J}} \times \mathbf {B} ,}
gdzie ν {{displaystyle \nu }
jest lepkością kinematyczną, ρ 0 {displaystyle \rho _{0}}
jest gęstością średnią, a ρ ′ {displaystyle ′rho ’}
jest perturbacją gęstości względnej, która zapewnia wyporność (dla konwekcji termicznej ρ ′ = α Δ T {displaystyle \rho '= \alpha \Delta T}
gdzie α {displaystyle \alpha }
jest współczynnikiem rozszerzalności cieplnej), Ω {displaystyle \Omega }
to prędkość obrotu Ziemi, a J { {displaystyle \mathbf {J} }
to gęstość prądu elektrycznego.
- Równanie transportu, zwykle ciepła (czasem stężenia pierwiastków lekkich):
∂ T ∂ t = κ ∇ 2 T + ϵ {displaystyle {frac {partial T}{partial t}}=kappa ^{2}T+epsilon }
gdzie T jest temperaturą, κ = k / ρ c p {displaystyle \kappa =k/ \rho c_{p}}
jest dyfuzyjnością cieplną przy k przewodności cieplnej, c p {displaystyle c_{p}}
pojemność cieplna, a ρ {displaystyle ἀrho}
gęstość, oraz ϵ {displaystyle \epsilon }
jest opcjonalnym źródłem ciepła. Często ciśnienie jest ciśnieniem dynamicznym, z usuniętym ciśnieniem hydrostatycznym i potencjałem dośrodkowym.
Równania te są następnie niewymiarowe, wprowadzając parametry niewymiarowe,
R a = g α T D 3 ν κ , E = ν Ω D 2 , P r = ν κ , P m = ν η {{displaystyle Ra={ {galpha TD^{3}}}{}},E={{}rac {{Omega D^{2}}},Pr={{}}},Pm={}}}.
gdzie Ra jest liczbą Rayleigha, E liczbą Ekmana, Pr i Pm liczbami Prandtla i magnetyczną liczbą Prandtla. Skalowanie pola magnetycznego często podaje się w jednostkach liczby Elsassera B = ( ρ Ω / σ ) 1 / 2 {{displaystyle B=(^rho \Omega / \sigma )^{1/2}}
.
Konwersja energii pomiędzy energią magnetyczną i kinematycznąEdit
Iloczyn skalarny powyższej postaci równania Naviera-Stokesa z ρ 0 u {displaystyle \rho _{0} \mathbf {u} }
daje szybkość przyrostu gęstości energii kinetycznej, ( 1 / 2 ) ρ 0 u 2 {displaystyle (1/2)\rho _{0}u^{2}}
, po lewej stronie. Ostatni człon po prawej stronie to u ⋅ ( J × B ) { {displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
, lokalny wkład do energii kinetycznej spowodowany działaniem siły Lorentza.
Iloczyn skalarny równania indukcji z ( 1 / μ 0 ) B {{displaystyle (1/mu _{0})\mathbf {B} }
daje szybkość przyrostu gęstości energii magnetycznej, ( 1 / 2 μ 0 ) B 2 {displaystyle (1/2\mu _{0})B^{2}}
, po lewej stronie. Ostatni człon po prawej stronie jest więc ( 1 / μ 0 ) B ⋅ ( ∇ × ( u × B ) { {displaystyle (1/mu _{0})\mathbf {B} \cdot \left(\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )\right)}
. Ponieważ równanie jest całkowane objętościowo, to wyrażenie jest równoważne, aż do terminu granicznego (i przy podwójnym użyciu tożsamości potrójnego iloczynu skalarnego) do – u ⋅ ( ( ( 1 / μ 0 ) ( ∇ × B ) × B ) = – u ⋅ ( J × B ) {displaystyle -\mathbf {u} \cdot \left((1/mu _{0})(\nabla \times \mathbf {B} )\prawo)=- \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
(gdzie zastosowano jedno z równań Maxwella). Jest to lokalny wkład do energii magnetycznej spowodowany ruchem płynu.
jest szybkością przemiany energii kinetycznej w energię magnetyczną. Musi ona być nieujemna przynajmniej w części objętości, aby dynamo wytwarzało pole magnetyczne.
Z powyższego wykresu nie wynika jasno dlaczego ten człon powinien być dodatni. Prosty argument może być oparty na rozważaniach dotyczących efektów netto. Aby wytworzyć pole magnetyczne, prąd elektryczny netto musi owijać się wokół osi obrotu planety. W takim przypadku, aby składnik ten był dodatni, przepływ netto materii przewodzącej musi być skierowany w stronę osi obrotu. Diagram pokazuje jedynie przepływ netto od biegunów do równika. Jednak zachowanie masy wymaga dodatkowego przepływu z równika w kierunku biegunów. Jeśli ten przepływ byłby wzdłuż osi obrotu, to oznacza, że obieg zostałby uzupełniony przez przepływ od pokazanych w kierunku osi obrotu, dając pożądany efekt.
Rząd wielkości pola magnetycznego wytworzonego przez ziemskie dynamoEdit
Powyższy wzór na szybkość zamiany energii kinetycznej na magnetyczną, jest równoważny szybkości pracy wykonanej przez siłę o wartości J × B {{displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
na zewnętrznej materii jądra, której prędkość wynosi u {{displaystyle \mathbf {u} }
. Praca ta jest wynikiem działania na płyn sił niemagnetycznych.
Spośród nich, siła grawitacji i siła odśrodkowa są konserwatywne i dlatego nie mają całkowitego wkładu w płyn poruszający się w zamkniętych pętlach. Liczba Ekmana (zdefiniowana powyżej), która jest stosunkiem dwóch pozostałych sił, czyli siły lepkości i siły Coriolisa, jest bardzo niska wewnątrz zewnętrznego jądra Ziemi, ponieważ jego lepkość jest niska (1.2-1. \times \mathbf {u} }
, chociaż ta wielkość i J × B {displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
są powiązane tylko pośrednio i w ogólności nie są sobie równe lokalnie (a więc oddziałują na siebie, ale nie w tym samym miejscu i czasie).
Gęstość prądu J jest sama w sobie wynikiem działania pola magnetycznego zgodnie z prawem Ohma. Ponownie, ze względu na ruch materii i przepływ prądu, niekoniecznie jest to pole w tym samym miejscu i czasie. Jednak relacje te nadal mogą być użyte do wnioskowania o rzędach wielkości omawianych wielkości.
Jeśli chodzi o rząd wielkości, to J B ∼ ρ Ω u {displaystyle J ∼ ρ Ω u}
i J ∼ σ u B {displaystyle J ∼ ρ Ω uB} B ∼ ρ Ω σ {displaystyle B ∼sim { ∼sqrt { ∼frac { ∼rho ∼mega } ∼sigma }}}}
Dokładny stosunek obu boków jest pierwiastkiem kwadratowym z liczby Elsassera.
Zauważ, że kierunek pola magnetycznego nie może być wywnioskowany z tego przybliżenia (przynajmniej nie jego znak), ponieważ pojawia się on w postaci kwadratu, i rzeczywiście, czasami jest odwrócony, choć ogólnie leży na podobnej osi, co Ω {displaystyle \mathbf {\Omega } }
.
Dla zewnętrznego jądra Ziemi ρ wynosi około 104 kg/m3, Ω=2π/dzień = 7,3×10-5 sekund, a σ wynosi około 107Ω-1m-1.Daje to 2,7×10-4 Tesli.
Pole magnetyczne dipola magnetycznego ma odwrotną zależność sześcienną w odległości, więc jego rząd wielkości na powierzchni Ziemi może być przybliżony przez pomnożenie powyższego wyniku przez (Router core/REarth)3 = (2890/6370)3 = 0.093, dając 2.5×10-5 Tesli, nie daleko do zmierzonej wartości 3×10-5 Tesli na równiku.