Klasyczna przestrzeń fazowaEdit
Opis klasycznego układu o F stopniach swobody może być podany w kategoriach 2F wymiarowej przestrzeni fazowej, której osie współrzędnych składają się z F uogólnionych współrzędnych qi układu i jego F uogólnionych momentów pędu pi. Mikrostan takiego układu będzie określony przez jeden punkt w przestrzeni fazowej. Jednak dla układu o dużej liczbie stopni swobody jego dokładny mikrostan zwykle nie jest ważny. Dlatego przestrzeń fazową można podzielić na komórki o rozmiarze h0=ΔqiΔpi , z których każda jest traktowana jako mikrostan. Teraz mikrostany są dyskretne i policzalne, a energia wewnętrzna U nie ma już dokładnej wartości, lecz zawiera się w przedziale od U do U+δU, przy czym δ U ≪ U {textstyle ≪ U {delta U}
.
Liczba mikrostanów Ω, które może zajmować układ zamknięty, jest proporcjonalna do objętości jego przestrzeni fazowej:
gdzie 1 δ U ( H ( x ) – U ) {prod _{i=1^{mathbf {1}} _{delta U}(H(x)-U)}
jest funkcją wskaźnikową. Ma ona wartość 1, jeśli funkcja Hamiltona H(x) w punkcie x = (q,p) w przestrzeni fazowej znajduje się pomiędzy U i U+ δU, a 0, jeśli nie. Stała 1 h 0 F {textstyle { {frac {1}{h_{0}^{mathcal {F}}}}}
sprawia, że Ω(U) jest bezwymiarowa.
.
W tym opisie cząstki są rozróżnialne. Jeżeli położenie i pęd dwóch cząstek zostaną zamienione, to nowy stan będzie reprezentowany przez inny punkt w przestrzeni fazowej. W tym przypadku pojedynczy punkt będzie reprezentował mikrostan. Jeżeli podzbiór M cząstek jest nieodróżnialny od siebie, to M! możliwych permutacji lub możliwych wymian tych cząstek będzie liczone jako część jednego mikrostanu. Zbiór możliwych mikrostanów jest również odzwierciedlony w ograniczeniach nałożonych na układ termodynamiczny.
Na przykład, w przypadku prostego gazu składającego się z N cząstek o całkowitej energii U zawartych w sześcianie o objętości V, w którym próbka gazu nie może być odróżniona od żadnej innej próbki za pomocą środków eksperymentalnych, mikrostan będzie składał się z wyżej wymienionych N! punktów w przestrzeni fazowej, a zbiór mikrostanów będzie ograniczony tak, aby wszystkie współrzędne położenia leżały wewnątrz pudełka, a pędy leżały na hipersferycznej powierzchni we współrzędnych pędu o promieniu U. Jeżeli natomiast układ składa się z mieszaniny dwóch różnych gazów, których próbki można od siebie odróżnić, powiedzmy A i B, to liczba mikrostanów wzrasta, ponieważ dwa punkty, w których cząstka A i B wymieniają się w przestrzeni fazowej, nie są już częścią tego samego mikrostanu. Dwie cząstki, które są identyczne, mogą być jednak rozróżnialne, na przykład na podstawie ich położenia. (Patrz entropia konfiguracyjna.) Jeżeli pudełko zawiera identyczne cząstki i jest w równowadze, a następnie wstawiono przegrodę dzielącą objętość na pół, to cząstki w jednym pudełku są teraz rozróżnialne od cząstek w drugim pudełku. W przestrzeni fazowej, N/2 cząstek w każdym pudełku jest teraz ograniczone do objętości V/2, a ich energia ograniczona do U/2, a liczba punktów opisujących pojedynczy mikrostan zmieni się: opis przestrzeni fazowej nie jest taki sam.
Ma to implikacje zarówno w paradoksie Gibbsa, jak i w poprawnym liczeniu Boltzmanna. Jeśli chodzi o liczenie Boltzmanna, to właśnie mnogość punktów w przestrzeni fazowej skutecznie zmniejsza liczbę mikrostanów i sprawia, że entropia jest rozległa. W odniesieniu do paradoksu Gibba, ważnym wynikiem jest to, że wzrostowi liczby mikrostanów (a więc wzrostowi entropii) wynikającemu z wstawienia przegrody dokładnie odpowiada spadek liczby mikrostanów (a więc spadek entropii) wynikający ze zmniejszenia objętości dostępnej dla każdej cząsteczki, dając zerową zmianę entropii netto.
.