An izomorfizm z grupy (G, ∗) na samą siebie nazywamy automorfizmem tej grupy. Jest to więc bijekcja f : G → G {{displaystyle f:G}}.
takie, że f ( u ) ∗ f ( v ) = f ( u ∗ v ) {displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v)}
.
Automorfizm zawsze odwzorowuje tożsamość na siebie. Obrazem pod automorfizmem klasy sprzężonej jest zawsze klasa sprzężona (ta sama lub inna). Obraz elementu ma ten sam porządek co ten element.
Skład dwóch automorfizmów jest znowu automorfizmem, a dzięki tej operacji zbiór wszystkich automorfizmów grupy G, oznaczany przez Aut(G), tworzy sam w sobie grupę, grupę automorfizmu G.
Dla wszystkich grup abelicznych istnieje przynajmniej automorfizm, który zastępuje elementy grupy ich odwrotnościami. Jednak w grupach, w których wszystkie elementy są równe swoim odwrotnościom jest to automorfizm trywialny, np. w czterogrupowej grupie Kleina. Dla tej grupy wszystkie permutacje trzech elementów nietożsamościowych są automorfizmami, więc grupa automorfizmów jest izomorficzna do S3 i Dih3.
W Zp dla liczby pierwszej p, jeden element nietożsamościowy może być zastąpiony przez dowolny inny, z odpowiednimi zmianami w pozostałych elementach. Grupa automorfizmu jest izomorficzna do Zp – 1. Na przykład, dla n = 7, pomnożenie wszystkich elementów Z7 przez 3, modulo 7, jest automorfizmem rzędu 6 w grupie automorfizmów, bo 36 ≡ 1 (modulo 7), a niższe potęgi nie dają 1. Zatem ten automorfizm generuje Z6. Jest jeszcze jeden automorfizm o tej własności: mnożenie wszystkich elementów Z7 przez 5, modulo 7. Zatem te dwa odpowiadają elementom 1 i 5 z Z6, w tej kolejności lub odwrotnie.
Grupa automorfizmów Z6 jest izomorficzna z Z2, bo tylko każdy z dwóch elementów 1 i 5 generuje Z6, więc oprócz tożsamości możemy je tylko zamieniać.
Grupa automorfizmów Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 = Dih2 ⊕ Z2 ma rząd 168, co można stwierdzić następująco. Wszystkie 7 elementów nietożsamościowych odgrywa tę samą rolę, więc możemy wybrać, który z nich odgrywa rolę (1,0,0). Dowolny z pozostałych 6 może być wybrany do roli (0,1,0). To określa, która z nich odpowiada (1,1,0). Dla (0,0,1) możemy wybrać spośród 4, co określa resztę. Mamy więc 7 × 6 × 4 = 168 automorfizmów. Odpowiadają one automorfizmom płaszczyzny Fano, z których 7 punktów odpowiada 7 elementom nietożsamościowym. Linie łączące trzy punkty odpowiadają operacjom grupowym: a, b, i c na jednej linii oznaczają a + b = c, a + c = b, i b + c = a. Zobacz też ogólne grupy liniowe nad polami skończonymi.
Dla grup abelianowych wszystkie automorfizmy oprócz trywialnego nazywamy automorfizmami zewnętrznymi.
Grupy nieabelianowe mają nietrywialną wewnętrzną grupę automorfizmów, i być może także automorfizmy zewnętrzne.
W przypadku grup abelianowych wszystkie automorfizmy oprócz trywialnego nazywamy automorfizmami zewnętrznymi.