磁場が流体運動に影響を与えるほど強くなると、運動論的近似は無効となる。 その場合、速度場がローレンツ力の影響を受けるようになるので、誘導方程式が磁場に対して線形でなくなる。 ほとんどの場合、これはダイナモの振幅のクエンチをもたらす。 このようなダイナモを電磁ダイナモと呼ぶこともある。宇宙物理学や地球物理学で用いられるダイナモは、事実上すべて電磁ダイナモである。 この電流はアンペールの法則によりさらに磁場を作る。 流体の運動によって、電流は磁場が強くなるように運ばれる（u・( J × B ) { long as displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \♪♪～ )}）というものである。
は負の値である）。 このように、「種」磁場は、既存の非磁力と関係するある値に達するまで、ますます強くなることができる。
数値モデルは、完全な非線形ダイナモをシミュレートするために使用されます。
- 上に示した誘導方程式。
- 電場を無視するためのMaxwellの方程式：
∇⋅ B = 0 {displaystyle \nabla \cdot {B} =0} 。
∇ × B = μ 0 J {displaystyle \nabla ¥times ¥mathbf {B} =¥mu _{0} ¥mathbf {J}. }
- 質量保存の連続方程式で、ブシネスク近似がよく使われる。
∇・u = 0 , {\displaystyle \nabla \mathbf {u} =0,}
- 同じく近似で、外力を磁力と重力として運動量保存のナビエ・ストークス方程式を求める。
D u D t = – 1 ρ 0 ∇ p + ν∇ 2 u + ρ′ 2 Ω u + Ω × Ω × R + 1 ρ 0 J × B , {displaystyle {frac {Dmathbf {u}} }} 。 }{Dt}}=-{frac {1}{rho _{0}}} ◇nabla p+{2} ◇mathbf {u} +{rho ‘◇mathbf {g} ◇nabla p+{2} ◇nabla p+{2} ◇nabla p+{2} ◇nabla p+{2} ◇mathbf {u} ◇mathbf {g +2mathbf {Omega }. \♪♪～ \♪♪～ \times \mathbf {R} +{Cfrac {1}{rho _{0}}}} {J}. \ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ。 ,}
where ν {displaystyle \nu } ν{displaystyle}。
は動粘度、ρ 0 {displaystyle \rho _{0}}} は動粘度。
は平均密度、ρ ′ {displaystyle \rho ‘} は平均密度です。
は浮力を与える相対密度摂動（熱対流の場合 ρ′ = α ΔT {displaystyle \rho ‘=alpha \Delta T} ）である。
where α {displaystyle \alpha }.
は熱膨張係数）、Ω {displaystyle \Omega }。
は地球の自転速度、J {displaystyle \mathbf {J} は地球の自転速度。 }
は電流密度。
- A transport equation, usually of heat (sometimes of light element concentration):
∂ T ∂ t = κ ∇ 2 T + ϵ {displaystyle {frac {partial T}{partial t}}=kappa \nabla ^{2}T+theepsilon } 。
ここで、Tは温度、κ = k / ρ c p {displaystyle \kappa =k/rho c_{p}}} 。
は熱伝導率をkとした熱拡散率、c p {displaystyle c_{p}} 。
熱容量、ρ {displaystyle \rho } 。
density, and ϵ {displaystyle \epsilon }.
は任意の熱源である。 多くの場合、圧力は静水圧と求心力を取り除いた動圧である。
これらの方程式を無次元化し、無次元パラメータ
R a = g α T D 3 ν Ω D 2 , E = ν κ κ , P r = ν κ , P m = ν η {displaystyle Ra={C03FRAC {galpha TD^{3}}{nu \kappa }},E={C03FRAC {Nu }{Omega D^{2}}},Pr={C03FRAC {Nu }{kappa }},Pm={C03FRAC {Nu }{eta }}} {displaystyle Ra={C03FRAC}{Nu }{E}},E={C03FRAC{E}}}{E}}{Nu}} {Nu}{E}}{E}}{E}{E}{E}{E}}
ここでRaはレイリー数、Eはエクマン数、PrとPmはプランドル数、磁気プランドル数である。 磁場のスケーリングはElsasser数単位でB = ( ρΩ / σ ) 1 / 2 {displaystyle B=(\rho / σ )^{1/2}} であることが多い。
.
磁気エネルギーと運動エネルギーのエネルギー変換Edit
上記の形のNavier-Stokes方程式とρ 0 u {displaystyle \rho _{0}mathbf {u} とのスカラー積は、以下のようになる。 }
は運動エネルギー密度の増加率、 ( 1 / 2 ) ρ 0 u 2 {displaystyle (1/2)\rho _{0}u^{2}}} を与える。
、左辺にある。 右辺の最後の項は u ⋅ ( J × B ) {displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )} となります。
, ローレンツ力による運動エネルギーへの局所的な寄与です。
誘導方程式と( 1 / μ 0 ) Bとのスカラー積{displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B}]。 }
により、磁気エネルギー密度の増加率、( 1 / 2 μ 0 ) B 2 {displaystyle (1/2mu _{0})B^{2}} が得られる。
、左辺にある。 右辺の最後の項は、( 1 / μ 0 ) B・( ∇ × ( u × B ) ) となる。 {displaystyle (1/}mu _{0})\mathbf {B}. この式は体積積分なので この項は、境界項まで（スカラー三重積の恒等式を二重に用いると） – u ⋅ ( ( 1 / μ 0 ) ( ∇ × B ) × B ) ) = – u ⋅ ( J × B ) {displaystyle -} と等価である。\ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ
（マクスウェル方程式の1つを使用した場合）。 これは流体運動による磁気エネルギーへの局所的な寄与である。
したがって、項-u・( J × B ) {displaystyle -mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )} は、以下のようになります。
は運動エネルギーが磁気エネルギーに変換される割合である。 ダイナモが磁場を発生させるためには、少なくとも体積の一部でこれが非負でなければならない。
上の図から、なぜこの項が正でなければならないのかが分からない。 単純に正味の効果を考えればよい。 磁場を作るには、正味の電流が惑星の自転軸に巻きついていなければならない。 その場合、この項が正であるためには、導電性物質の正味の流れは自転軸に向かうはずである。 この図では、極から赤道への正味の流れしか示していない。 しかし、質量保存のためには、赤道から極に向かう流れがさらに必要である。
地球のダイナモが作る磁場の大きさの順序編集
運動エネルギーが磁気エネルギーに変換される割合の上式は、J×B {displaystyle \mathbf {J}の力が働く割合と等価である。 \times \mathbf {B} }
が外核物質についており、その速度はu {displaystyle \mathbf {u} である。 }
. この仕事は、流体に作用する非磁性力の結果である。
このうち、重力と遠心力は保守的であるため、閉ループで動く流体には全体として寄与しない。 残りの2つの力、すなわち粘性とコリオリ力の比であるエクマン数（上で定義）は、地球の外核内部では粘性が低いため、非常に小さい（1.2-1.5 x10-2 pascal-second）であるため、仕事に対する主な時間平均の寄与はコリオリ力であり、その大きさは – 2 ρ Ω × u {displaystyle -2rho \,\mathbf {Omega }となる。 \♪♪～ }
, この量とJ×B {displaystyle \mathbf {J} ]は同じだが \times \mathbf {B} }
は間接的な関係しかなく、一般に局所的には等しくない（したがって、互いに影響しあうが、同じ場所と時間では影響しあわない）。
電流密度Jはそれ自体オームの法則による磁場の結果である。 ここでも物質の運動と電流の流れにより、必ずしも同じ場所、同じ時間の磁場とはならない。
大きさの順序としては、J B∼ρ Ω u {displaystyle J,B}sim \rho \,Ω u}
and J∼σ u B {displaystyle Jsim \sigma uB} J B∼ρ Ω u}sim ∈2.5×2.5×2.0×2.0×2.0} J B∼ρ Ω u}sim ∈2.0×2.0×2.0} J B∼ρ Ω u}Sim ∈2.0×2.0×2.0} 
、あるいは、σ u 2 ∼ ρ Ω u {displaystyle และโพธิ์> , σ σ 십십⑅십⑅ B ∼ ρ Ω σ {\displaystyle B}sim {sqrt { }{frac } }{sigma }} { ρ Ω σ { }{frac } { ρ Ω σ { }} { σ
両辺の正確な比は Elsasser number の平方根である。
磁場の方向は、2乗されて見えるのでこの近似から推測することはできない（少なくともその符号ではない）、実際、時には逆転しているが一般的には Ω {displaystyle \mezbf {Omega } のそれと同様の軸上にあることに注意すること。 }
.
地球外核の場合、ρは約104kg/m3、Ω=2π/day=7.3×10-5秒、σは約107×10-4Teslaとなります。
磁気双極子の磁場は距離に対して逆3乗依存性があるので、地表での大きさのオーダーは上記の結果に (Router core/REarth)3 = (2890/6370)3 = 0.093 を掛けて近似でき、赤道での測定値 3×10-5 Tesla からは遠くない 2.5×10-5 Tesla となる。