接続されたグラフと接続されていないグラフの例を見てきました。 最も簡単なアプローチは、頂点または辺を削除することによってグラフを切断することがいかに難しいかを見ることです。 最も簡単なアプローチは、頂点や辺を取り除くことによってグラフを切断するのがどれだけ難しいかを見ることである。我々は、すべてのグラフが単純であると仮定している。
カットポイントと呼ばれる1つの頂点を削除することによってグラフを切断することが可能であれば、そのグラフは連結性1であると言う。 これができないが、2つの頂点を削除することで切断できる場合、そのグラフは接続性2である。
Theorem 5.7.3 $kappa(G)\lelambda(G)$.
2-connected なグラフは特に重要で、次の簡単な定理が有用である。
他にも2-connectedグラフの良い特徴があります。
この定理を簡単に言い直したのが次のコラリである。
このバージョンの定理は一般化を示唆している。まずメンガーのオリジナルバージョン、「ローカル」バージョンを証明しよう。
Theorem 5.7.9 $v$ と $w$ が $G$ の非隣接頂点ならば、 $p_G(v,w)=p_G(v,w)$ とする。
$$bulletquadbullet$
We return briefly to 2-connectivity.The next theorem can sometimes use to provide the induction stepin an induction proof.
A graph that is not connected consists of connected components.The theorem is not disclosed connecting, but they are not connected. これを連想させる定理として、2-連結でない連結グラフは2-連結部分グラフと橋から構成されることが分かる。
Definition 5.7.11 A block in a graph $G$ is a maximalinduced subgraph on least two vertices without a cutpoint.
ここでいう最大とは、誘導部分グラフ$B$が頂点や辺を追加しても（目的の性質（この場合、カットポイントがない）を保ったまま）大きくならないことを意味する。
Theorem 5.7.12 The blocks of $G$ partition the edges.
If $G$ has a single block, it is either $K_2$ or is 2-connected andany 2-connected graph has a single block.ブロックは、ブロックが1つでなければ、2-連結である。
定理5.7.13 $G$が連結だが2連結でない場合、2ブロックにあるすべての頂点は$G$の切断点である。
Exercises 5.7
Ex 5.7.1$nge 2$頂点の単純グラフ$G$には少なくとも$ds {(n-1)(n-2)\over2}+1$ 辺があると仮定する。 Prove that $G$ is connected.
Ex 5.7.3Supply $G$ is simple with degree sequence$d_1아le d_2아le cdotselle d_n$, for $kelle n-d_n-1$, $d_kenta k$. Show$G$ is connected.
Ex 5.7.4Recall that a graph is $k$-regular if all the verticeshave degree $k$. 6159>
$G$が単純で、$n$個の頂点を持ち、$mge k$を持ち、$G$が$m$正則であれば、$G$は連結である。)
例5.7.6Find a simple graph with$kappa(G)
カットポイントは少なくとも2ブロックに含まれ、ブロックカットポイントグラフの頂点はすべてブロックであることに注意。
例5.7.10下のグラフのブロック・カットポイント・グラフを描く。