群（G，＊）からそれ自身への同型をこの群の自動的同型と呼ぶ。 したがって、それは bijection f : G → G {displaystyle f:Grightarrow G} となる。
such that f ( u ) ∗ f ( v ) = f ( u ∗ v ) {displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v)} ｝を満たすような。
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自動同型は常に恒等式をそれ自身に写す。 共役クラスの自動モルフィズム下の像は常に共役クラス(同じか別の)である。 ある要素の像はその要素と同じ位数を持つ。
2つの自動orphismの合成はまた自動orphismであり、この操作によって群Gのすべての自動orphismの集合はAut(G)で示され、それ自体が群、Gの自動orphism群を形成する。
すべての abelian 群について少なくとも群要素をその逆数に置き換える自動orphismが存在する。 しかし、すべての要素がその逆数に等しい群では、例えばクライン4群ではこれが些細な自動多型となる。 その群では、3つの非同一要素のすべての並べ換えは自動orphismであるので、自動orphism群はS3とDih3に同型である。
素数pのZpでは、非同一要素の1つは他の任意の要素で置き換えられ、他の要素には対応する変化がある。 自動同型群はZp – 1に同型である。 例えば、n = 7 のとき、Z7 のすべての要素に 3 を掛けると、36 ≡ 1 (modulo 7) であり、それより小さい累乗では 1 を与えないので、自動結晶群では 6 の次数の自動結晶となる。 したがって、この自己同型はZ6を生成する。 この性質を持つ自動同型はもう一つあり、それはZ7のすべての要素に5を乗じると7モジュロになることである。 したがって、この2つはZ6の要素1と5に対応し、この順番か逆になる。
Z6の自動結晶群はZ2と同型であるが、これは2つの要素1と5のそれぞれだけがZ6を生成するから、恒等式を除けばこれらを交換するだけである。
Z2＝Dih2・⊕Z2の自動結晶群は、次のように分かる通り次数168である。 7つの非同一要素はすべて同じ役割を果たすので、(1,0,0)の役割を果たすものを選べばよい。 残りの6個は(0,1,0)の役割を果たすものを選べばよい。 これで、(1,1,0)に対応するものが決まります。 (0,0,1)については、4つから選ぶことができるので、残りが決まります。 したがって、7×6×4＝168個の自動化がある。 これらは、Fano平面のものに対応し、そのうちの7点は、7つの非同一要素に対応する。 3点を結ぶ線は群演算に対応し、1線上のa、b、cはa＋b＝c、a＋c＝b、b＋c＝aを意味する。
abelian groupでは、三重以外のすべての自動多型は外側自動多型と呼ばれる。
Non-abelian groupには非自明の内側自動多型の群、および場合により外側自動多型の群がある。