アフィン結合∇を持つ滑らかな多様体M上の測地線は、曲線に沿った平行輸送が曲線の接線ベクトルを保存するような曲線γ(t)として定義されます。 so
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∇ γ˙ γ˙ = 0 {displaystyle \nabla _{dot {gamma }}{dot {gamma }}=0} }.
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(1) |
曲線上の各点で。 ここで、γ ˙ {dot {gamma }}は、以下の通りです。
はtに関する微分{displaystyle t}である。
. より正確には、γ ˙ {displaystyle {dot {gamma }}の共変動微分を定義するために、以下のようにします。｝
については、まずγ ˙ {displaystyle {dot {gamma }} を拡張する必要があります。｝
は開集合で連続微分可能なベクトル場となる。 しかし、(1)の結果の値は、拡張の選択に依存しない。
M上の局所座標を用いると、測地線方程式は(和の法則を用いて)
d 2 γ λ d t 2 + Γ μ ν λ d γ μ t d γ ν d t = 0 と書くことができる , {displaystyle {dfrac {d^{2}}gamma ^{Chamda }}{dt^{2}}+Gamma _{Mu \nu }^{Lambda }{frac {dgamma ^{Chamu }}{dt}}{frac {dgamma ^{Chamnu }}{dt}}は0 ,}
where γ μ = x μ ∘ γ ( t ) {displaystyle \gamma ^{mu }=x^{mu }}circ \gamma (t)} } } {displaystyle ∘ γ ( t )
は曲線γ（t）の座標、Γ νλ {displaystyle \Gamma _{mu \nu }^{lambda }} は曲線の座標です。
は接続∇のクリストッフェル記号である。 これは座標に対する常微分方程式である。 初期位置と初期速度が与えられれば一意解を持つ。 したがって、古典力学の観点からは、測地線は多様体における自由粒子の軌跡と考えることができる。 実際、方程式 ∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {displaystyle \nabla _{dot {gamma }}{dot {gamma }}=0} が成り立ち、この方程式を解くと、次のようになります。
は曲線の加速度ベクトルが曲面方向の成分を持たない（したがって曲線の各点で曲面の接平面に垂直である）ことを意味している。 つまり、運動は完全に曲面の曲げで決まるのです。 これは、粒子が測地線上を移動し、その曲がりが重力によって引き起こされるという一般相対性理論の考え方でもある。
存在と一意性編集
測地線の局所的存在と一意性の定理は、アフィン接続を持つ滑らかな多様体上の測地線が存在し、かつ一意であることを述べています。 より正確には、
Mの任意の点pとTpM（pにおけるMの接線空間）の任意のベクトルVに対して、一意の測地線γ{displaystyle \gamma ，}
が存在することである。 I → M such that γ ( 0 ) = p {displaystyle \gamma (0)=p,}
and γ ˙ ( 0 ) = V , {displaystyle {dot {}(0)=V,}
where I is a maximal open interval in R containing 0.Iの場合、Iは0を含む。
この定理の証明は常微分方程式の理論から、測地線方程式が2次の常微分方程式であることに注目することで得られる。 存在と一意性は、所定の初期条件を持つODEの解に対するPicard-Lindelöfの定理による。 γはpとVの両方に滑らかに依存する。
一般に、IはR2の開いた円板のように、Rのすべてとは限らない。 Mが測地的に完全である場合に限り、任意のγはℝの全てに拡張する。
Geodesic flowEdit
測地的流は次のように定義される多様体Mの接線束TM上の局所R作用である
G t ( V ) = γ ˙ V ( t ) {displaystyle G^{t}(V)={Threshold {gamma}_{V}(t)}} {displaystyle {dot}_path {gamma }} {displaystyle {gamma }} {dot}_{V}(t)
where t∈R, V∈TM and γ V {displaystyle \gamma _{V}}}.
は初期データ γ ˙ V ( 0 ) = V {displaystyle {dot {gamma }}_{V}(0)=V} の測地線を示す。
. したがって、G t { {displaystyle G^{t}} は
(V) = exp(tV) は、ベクトルtVの指数写像である。 測地流の閉じた軌道はM上の閉じた測地線に対応する。
(擬)リーマン多様体上では、測地流は共伴束上のハミルトン流と同定される。 ハミルトニアンは(擬)リーマン距離の逆数で与えられ、カノニカル1形式に対して評価される。 特に、流れは(擬)リーマンメトリックg {displaystyle g} を保存する。
、すなわち、g ( G t ( V ) , G t ( V ) ) = g ( V , V ) 。 {displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}
特に、Vが単位ベクトルのとき、γ V {displaystyle \gamma _{V}}となり、Vが単位ベクトルであれば、γ V {displaystyle
は終始単位速度のままなので、測地線の流れは単位接線束に接することになります。 Liouvilleの定理は単位接線束上の運動測度が不変であることを意味している。
測地線スプレーEdit
測地線フローは接線束の曲線の族を定義する。 より正確には、アフィン接続は二重接線束 TTM の水平および垂直束への分割を生じさせる：
T T M = H ⊕ V . {表示スタイル TTM=Hanthus V.}.
測地線スプレーは
π ∗ W v = v {\displaystyle \pi _{*}W_{v}=v}, }
各点 v∈TM; ここで π∗ : TTM → TMは接線束に付随する射影π : TM → Mに沿ったpushforward(differential)を表します。
より一般的には、同じ構成で接線束上の任意のエーレスマン接続に対するベクトル場が構成できる。 得られたベクトル場がスプレー（削除された接線束TM ｛0｝上）であるためには、その接続が正のリスケールの下で等変であれば十分で、線形である必要はない。 つまり、水平分布が
H λ X = d ( S λ ) X H X {displaystyle H_{lambda X}=d(S_{lambda })_{X}H_{X},}
for every X∈TM {0} and λ > 0を満足するだけで良いのです。 ここで、d(Sλ)はスカラー同相S λ : X ↦ λ Xに沿ったpushforwardである{displaystyle S_{lambda }:Xmapsto \lambda X.}.
このように発生する非線形接続の特殊なケースとして、Finsler多様体に関連する接続があります。
Affine and projective geodesicsEdit
式（1）はアフィン再パラメータ化の下で不変であり、すなわち、
t ↦ a t + b { Filterdisplaystyle tmapsto at+b} という形のパラメータ化である。
ここで、aとbは一定の実数である。 このように測地線方程式は埋め込まれた曲線のあるクラスを指定する以外に、曲線のそれぞれのパラメータ化の好ましいクラスも決定する。 したがって、(1)の解はアフィンパラメータ付き測地線と呼ばれる。
アフィン接続は、ねじれまでのアフィンパラメータ付き測地線の族によって決定される（Spivak 1999, Chapter 6, Addendum I)。 測地線方程式は接続の対称部分のみに依存するので、ねじれ自体は実際には測地線の族に影響を与えない。 より正確には、if ∇ , ∇¯ } {displaystyle \nabla ,{bar {nabla }} {displaystyle#############################################################1
は差分テンソル D ( X , Y ) =∇ X Y – ∇¯ X Y {displaystyle D(X,Y)=@nabla _{X}Y-{bar {nabla }}_{X}Y} となる2つの接続であります。
