古典位相空間編集部
自由度Fの古典系の記述は、系のF一般化座標qiとそのF一般化運動量piを座標軸とする2F次元の位相空間によって述べられることがあります。 このような系の微視的状態は、位相空間内の1点によって指定される。 しかし、膨大な数の自由度を持つ系では、その正確な微小状態は通常重要ではありません。 そこで、位相空間はサイズh0=ΔqiΔpiのセルに分割され、それぞれが微小状態として扱われます。 ここで、微小状態は離散的で可算であり、内部エネルギーUはもはや厳密な値ではなく、UとU+δUの間にあり、δU ≪ textstyle \delta Ull U} がある。
.
閉じた系が占有できる微小状態Ωの数は、その位相空間体積に比例する。
where 1 δ U ( H ( x ) – U ) {textstyle \mathbf {1} }. _{delta U}(H(x)-U)}
はIndicator functionである。 位相空間の点x＝（q，p）におけるハミルトン関数H（x）がUとU＋δUの間にある場合に1、ない場合に0となる。 定数1 h 0 F {textstyle {}{h_{0}^{mathcal {F}}}} は、以下の通りである。
により、Ω(U)は無次元となる。 理想気体の場合 Ω ( U ) ∝ F U F 2 – 1 δ U {displaystyle ゙ω (U)゙propto {mathcal {F}}U^{{frac {mathcal F}{2}}-1}} {delta U} となる。
.
この記述では、粒子を区別することができる。 2つの粒子の位置と運動量が交換されると、新しい状態は位相空間の異なる点で表されます。 この場合、1つの点が微小状態を表すことになる。 M個の粒子のサブセットが互いに区別できない場合、これらの粒子のM！個の可能な並べ換えまたは可能な交換は、単一のマイクロ状態の一部としてカウントされます。 例えば、体積Vの立方体に含まれる全エネルギーUのN個の粒子の単純な気体の場合、気体のサンプルは実験によって他のサンプルと区別できないので、ミクロ状態は上記のN! 一方、系が2つの異なるガスの混合物で構成されていて、そのサンプルがAとBのように互いに区別できる場合、位相空間においてAとBの粒子が交換された2点はもはや同じミクロ状態の一部ではないので、ミクロ状態の数は増えます。 同じ粒子であっても、その位置などで区別できる場合がある。 (同一の粒子が入った箱が平衡状態にあるとき、仕切りを入れて体積を半分にすると、一方の箱の粒子はもう一方の箱の粒子と区別できるようになります。 位相空間では、各箱のN/2個の粒子は体積V/2に制限され、そのエネルギーはU/2に制限され、一つのミクロ状態を記述する点の数は変化します：位相空間の記述は同じではありません。 ボルツマンカウンティングに関しては、位相空間における点の多重性が微小状態の数を効果的に減少させ、エントロピーを大きくしている。 ギブのパラドックスに関しては、重要な結果は、仕切りの挿入による微小状態の数の増加（したがって、エントロピーの増加）と、各粒子が利用できる体積の減少による微小状態の数の減少（したがって、エントロピーの減少）が正確に一致することであり、純エントロピー変化はゼロとなることだ
。