L’approssimazione cinematica diventa non valida quando il campo magnetico diventa abbastanza forte da influenzare i moti dei fluidi. In quel caso il campo di velocità viene influenzato dalla forza di Lorentz, e quindi l’equazione di induzione non è più lineare nel campo magnetico. Nella maggior parte dei casi questo porta ad un estinzione dell’ampiezza della dinamo. Praticamente tutte le dinamo in astrofisica e geofisica sono dinamo elettromagnetiche.
L’idea principale della teoria è che qualsiasi piccolo campo magnetico esistente nel nucleo esterno crea correnti nel fluido in movimento a causa della forza di Lorenz. Queste correnti creano un ulteriore campo magnetico a causa della legge di Ampere. Con il movimento del fluido, le correnti sono trasportate in modo che il campo magnetico diventa più forte (finché u ⋅ ( J × B ) {displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \volte \mathbf {B} )}
è negativo). Così un campo magnetico “seme” può diventare sempre più forte fino a raggiungere un certo valore che è legato alle forze non magnetiche esistenti.
I modelli numerici sono usati per simulare dinamiche completamente non lineari. Si usano le seguenti equazioni:
- L’equazione di induzione, presentata sopra.
- Equazioni di Maxwell per un campo elettrico trascurabile:
∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}
∇ × B = μ 0 J {\displaystyle \nabla \tempi \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
- L’equazione di continuità per la conservazione della massa, per la quale viene spesso usata l’approssimazione di Boussinesq:
∇ ⋅ u = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}
- L’equazione di Navier-Stokes per la conservazione della quantità di moto, sempre nella stessa approssimazione, con la forza magnetica e la forza di gravità come forze esterne:
D u D t = – 1 ρ 0 ∇ p + ν ∇ 2 u + ρ ′ g + 2 Ω × u + Ω × Ω × R + 1 ρ 0 J × B , {\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} {{Dt}}=-{frac {1}{\rho _{0}}} p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\rho ‘\mathbf {g} +2\mathbf {\mathbf {\mathbf} \tempi \mathbf {u} +mathbf {\mathbf {\mega} \tempi \mathbf {\mathbf {\mathbf} \tempi \mathbf {R} +{frac {1}{rho _{0}}}mathbf {J} \tempi \mathbf {B} ,}
dove ν {displaystyle \nu }
è la viscosità cinematica, ρ 0 {displaystyle \rho _{0}
è la densità media e ρ ′ {displaystyle \rho ‘}
è la perturbazione di densità relativa che fornisce la galleggiabilità (per convezione termica ρ ′ = α Δ T {displaystyle \rho ‘=\alfa \Delta T}
dove α {displaystyle \alpha }
è il coefficiente di espansione termica), Ω {displaystyle \Omega }
è la velocità di rotazione della Terra, e J {displaystyle \mathbf {J} }
è la densità di corrente elettrica.
- Un’equazione di trasporto, di solito di calore (a volte di concentrazione di elementi leggeri):
∂ T ∂ t = κ ∇ 2 T + ϵ {displaystyle {\frac {\parziale T}{parziale t}}=\kappa \nabla ^{2}T+\epsilon }
dove T è la temperatura, κ = k / ρ c p {displaystyle \kappa =k/rho c_{p}
è la diffusività termica con k di conducibilità termica, c p {displaystyle c_{p}
capacità termica, e ρ {displaystyle \rho }
densità, e ϵ {displaystyle \epsilon }
è una fonte di calore opzionale. Spesso la pressione è la pressione dinamica, con la pressione idrostatica e il potenziale centripeto rimossi.
Queste equazioni sono poi non-dimensionalizzate, introducendo i parametri non-dimensionali,
R a = g α T D 3 ν κ , E = ν Ω D 2 , P r = ν κ , P m = ν η {displaystyle Ra={frac {g\alpha TD^{3}}{\nu \kappa }},E={frac {\nu }{Omega D^{2}},Pr={frac {\nu }{kappa },Pm={frac {\nu }{\kappa}}
dove Ra è il numero di Rayleigh, E il numero di Ekman, Pr e Pm il numero di Prandtl e Prandtl magnetico. La scala del campo magnetico è spesso in unità del numero di Elsasser B = ( ρ Ω / σ ) 1 / 2 {displaystyle B=(\rho \Omega /\sigma )^{1/2}}
.
Conversione di energia tra energia magnetica e cinematicaModifica
Il prodotto scalare della forma precedente dell’equazione di Navier-Stokes con ρ 0 u {displaystyle \rho _{0}\mathbf {u} }
dà il tasso di aumento della densità di energia cinetica, ( 1 / 2 ) ρ 0 u 2 {displaystyle (1/2)\rho _{0}u^{2}}
, sul lato sinistro. L’ultimo termine sul lato destro è quindi u ⋅ ( J × B ) {displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \mathbf {B} )}
, il contributo locale all’energia cinetica dovuto alla forza di Lorentz.
Il prodotto scalare dell’equazione di induzione con ( 1 / μ 0 ) B {displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} }
dà il tasso di aumento della densità di energia magnetica, ( 1 / 2 μ 0 ) B 2 {displaystyle (1/2\mu _{0})B^{2}}
, sul lato sinistro. L’ultimo termine sul lato destro è quindi ( 1 / μ 0 ) B ⋅ ( ∇ × ( u × B ) ) {displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} \cdot \sinistra(\nabla \tempi (\mathbf {u} \tempi \mathbf {B} )\destra)}
. Poiché l’equazione è integrata in volume, questo termine è equivalente fino a un termine limite (e con il doppio uso dell’identità del triplo prodotto scalare) a – u ⋅ ( ( 1 / μ 0 ) ( ∇ × B ) × B ) ) = – u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot \left((1/\mu _{0})(\nabla \tempi \mathbf {B} )\tempi \mathbf {B} )\destra)=-\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \tempi \mathbf {B})}
(dove è stata usata una delle equazioni di Maxwell). Questo è il contributo locale all’energia magnetica dovuto al moto del fluido.
Quindi il termine – u ⋅ ( J × B ) {displaystyle -\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \mathbf {B} )}
è il tasso di trasformazione dell’energia cinetica in energia magnetica. Questo deve essere non negativo almeno in una parte del volume, perché la dinamo produca campo magnetico.
Dal diagramma sopra, non è chiaro perché questo termine debba essere positivo. Un semplice argomento può essere basato sulla considerazione degli effetti netti. Per creare il campo magnetico, la corrente elettrica netta deve avvolgere l’asse di rotazione del pianeta. In questo caso, perché il termine sia positivo, il flusso netto di materia conduttrice deve essere verso l’asse di rotazione. Il diagramma mostra solo un flusso netto dai poli all’equatore. Tuttavia la conservazione della massa richiede un ulteriore flusso dall’equatore verso i poli. Se quel flusso fosse lungo l’asse di rotazione, ciò implica che la circolazione sarebbe completata da un flusso da quelli mostrati verso l’asse di rotazione, producendo l’effetto desiderato.
Ordine di grandezza del campo magnetico creato dalla dinamo terrestreModifica
La formula di cui sopra per il tasso di conversione di energia cinetica in energia magnetica, è equivalente a un tasso di lavoro svolto da una forza di J × B {\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
sulla materia del nucleo esterno, la cui velocità è u {displaystyle \mathbf {u} }
. Questo lavoro è il risultato di forze non magnetiche che agiscono sul fluido.
Di queste, la forza gravitazionale e la forza centrifuga sono conservative e quindi non hanno alcun contributo complessivo al fluido che si muove in anelli chiusi. Il numero di Ekman (definito sopra), che è il rapporto tra le due forze rimanenti, cioè la viscosità e la forza di Coriolis, è molto basso all’interno del nucleo esterno della Terra, perché la sua viscosità è bassa (1,2-1.5 x10-2 pascal-secondo ) a causa della sua liquidità.
Quindi il principale contributo mediato nel tempo al lavoro è dalla forza di Coriolis, la cui dimensione è – 2 ρ Ω × u {displaystyle -2\rho \,\mathbf {\mega} \tempo \mathbf {mathbf {u} }
, sebbene questa quantità e J × B {\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
sono correlate solo indirettamente e non sono in generale uguali localmente (quindi si influenzano a vicenda ma non nello stesso luogo e tempo).
La densità di corrente J è essa stessa il risultato del campo magnetico secondo la legge di Ohm. Di nuovo, a causa del movimento della materia e del flusso di corrente, questo non è necessariamente il campo nello stesso luogo e tempo. Tuttavia queste relazioni possono ancora essere usate per dedurre gli ordini di grandezza delle quantità in questione.
In termini di ordine di grandezza, J B ∼ ρ Ω u {displaystyle J\,B\sim \rho \\mega \u}
e J ∼ σ u B {displaystyle J\sim \sigma uB}
, dando σ u B 2 ∼ ρ Ω u {displaystyle \sigma \,u\,B^{2}\sim \rho \,\Omega \,u}
, oppure:
Il rapporto esatto tra i due lati è la radice quadrata del numero di Elsasser.
Nota che la direzione del campo magnetico non può essere dedotta da questa approssimazione (almeno non il suo segno) in quanto appare al quadrato, ed è, infatti, talvolta invertita, anche se in generale giace su un asse simile a quello di Ω {\displaystyle \mathbf {\mega } }
.
Per il nucleo esterno della terra, ρ è circa 104 kg/m3, Ω=2π/giorno = 7,3×10-5 secondi e σ è circa 107Ω-1m-1.Questo dà 2,7×10-4 Tesla.
Il campo magnetico di un dipolo magnetico ha una dipendenza cubica inversa nella distanza, quindi il suo ordine di grandezza alla superficie terrestre può essere approssimato moltiplicando il risultato di cui sopra per (Router core/REarth)3 = (2890/6370)3 = 0,093, dando 2,5×10-5 Tesla, non lontano dal valore misurato di 3×10-5 Tesla all’equatore.