Un isomorfismo da un gruppo (G, ∗) a se stesso è chiamato un automorfismo di questo gruppo. Si tratta quindi di una biiezione f : G → G {displaystyle f:G\rightarrow G}
tale che f ( u ) ∗ f ( v ) = f ( u ∗ v ) {displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v)}
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Un automorfismo mappa sempre l’identità a se stesso. L’immagine sotto un automorfismo di una classe di coniugazione è sempre una classe di coniugazione (la stessa o un’altra). L’immagine di un elemento ha lo stesso ordine di quell’elemento.
La composizione di due automorfismi è di nuovo un automorfismo, e con questa operazione l’insieme di tutti gli automorfismi di un gruppo G, indicato con Aut(G), forma esso stesso un gruppo, il gruppo di automorfismi di G.
Per tutti i gruppi abeliani esiste almeno l’automorfismo che sostituisce gli elementi del gruppo con i loro inversi. Tuttavia, nei gruppi in cui tutti gli elementi sono uguali al loro inverso questo è l’automorfismo banale, per esempio nel quadruplice gruppo di Klein. Per quel gruppo tutte le permutazioni dei tre elementi non identitari sono automorfismi, quindi il gruppo degli automorfismi è isomorfo a S3 e Dih3.
In Zp per un numero primo p, un elemento non identitario può essere sostituito da qualsiasi altro, con corrispondenti cambiamenti negli altri elementi. Il gruppo di automorfismo è isomorfo a Zp – 1. Per esempio, per n = 7, moltiplicare tutti gli elementi di Z7 per 3, modulo 7, è un automorfismo di ordine 6 nel gruppo degli automorfismi, perché 36 ≡ 1 (modulo 7), mentre potenze inferiori non danno 1. Quindi questo automorfismo genera Z6. C’è un altro automorfismo con questa proprietà: moltiplicare tutti gli elementi di Z7 per 5, modulo 7. Pertanto, questi due corrispondono agli elementi 1 e 5 di Z6, in quest’ordine o al contrario.
Il gruppo di automorfismi di Z6 è isomorfo a Z2, perché solo ognuno dei due elementi 1 e 5 genera Z6, quindi a parte l’identità possiamo solo scambiarli.
Il gruppo di automorfismi di Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 = Dih2 ⊕ Z2 ha ordine 168, come si può trovare come segue. Tutti i 7 elementi non identici giocano lo stesso ruolo, quindi possiamo scegliere quale gioca il ruolo di (1,0,0). Uno qualsiasi dei 6 rimanenti può essere scelto per giocare il ruolo di (0,1,0). Questo determina quale corrisponde a (1,1,0). Per (0,0,1) possiamo scegliere tra 4, il che determina il resto. Così abbiamo 7 × 6 × 4 = 168 automorfismi. Essi corrispondono a quelli del piano di Fano, di cui i 7 punti corrispondono ai 7 elementi non identitari. Le linee che collegano tre punti corrispondono all’operazione di gruppo: a, b, e c su una linea significa a + b = c, a + c = b, e b + c = a. Vedi anche gruppo lineare generale su campi finiti.
Per i gruppi abeliani tutti gli automorfismi tranne quello banale sono chiamati automorfismi esterni.
I gruppi non abeliani hanno un gruppo di automorfismi interni non banale, ed eventualmente anche automorfismi esterni.