Klasszikus fázistérSzerkesztés
Egy F szabadsági fokú klasszikus rendszer leírása egy 2F dimenziós fázistérrel fejezhető ki, amelynek koordinátatengelyei a rendszer F általánosított qi koordinátájából és F általánosított pi impulzusából állnak. Egy ilyen rendszer mikroállapotát a fázistér egyetlen pontja adja meg. Egy nagyszámú szabadsági fokú rendszer esetében azonban a pontos mikroállapota általában nem fontos. Így a fázistér h0=ΔqiΔpi méretű cellákra osztható, amelyek mindegyikét egy-egy mikroállapotként kezeljük. Most a mikroállapotok diszkrétek és megszámlálhatók, és az U belső energiának már nincs pontos értéke, hanem U és U+δU között van, ahol δ U ≪ U {\textstyle \delta U\ll U}
.
A zárt rendszer által elfoglalható Ω mikroállapotok száma arányos a fázistér térfogatával:
ahol 1 δ U ( H ( x ) – U ) {\textstyle \mathbf{1} _{\\delta U}(H(x)-U)}
egy indikátorfüggvény. Ez 1, ha a Hamilton-függvény H(x) a fázistér x = (q,p) pontjában U és U+ δU között van, és 0, ha nem. Az 1 h 0 F {\textstyle {\frac {1}{h_{0}^{\mathcal {F}}}}}
az Ω(U)-t dimenziótlanná teszi. Ideális gáz esetén Ω ( U ) ∝ F U F 2 – 1 δ U {\displaystyle \Omega (U)\propto {\mathcal {F}}U^{{\frac {\mathcal {F}}{2}}-1}\delta U}
.
Ebben a leírásban a részecskék megkülönböztethetők. Ha két részecske helyzetét és impulzusát kicseréljük, az új állapotot a fázistér egy másik pontja fogja reprezentálni. Ebben az esetben egyetlen pont egy mikroállapotot fog képviselni. Ha M részecske egy részhalmaza megkülönböztethetetlen egymástól, akkor e részecskék M! lehetséges permutációi vagy lehetséges cseréi egyetlen mikroállapot részének számítanak. A lehetséges mikroállapotok halmazát a termodinamikai rendszerre vonatkozó korlátozások is tükrözik.
Például egy V térfogatú kockában lévő, U összes energiájú N részecskéből álló egyszerű gáz esetében, amelyben a gáz egy mintája kísérleti úton nem különböztethető meg egyetlen másik mintától sem, egy mikroállapot a fent említett N! pontokból áll, és a mikroállapotok halmazát úgy korlátozzuk, hogy minden helyzetkoordinátának a kockán belül kell lennie, az impulzusok pedig az U sugarú impulzuskoordináták hiperszférikus felületén. Ha viszont a rendszer két különböző gáz keverékéből áll, amelyek mintái megkülönböztethetők egymástól, mondjuk A és B, akkor a mikroállapotok száma megnő, mivel két olyan pont, amelyben egy A és B részecske kicserélődik a fázistérben, már nem része ugyanannak a mikroállapotnak. Két azonos részecske mégis megkülönböztethető, például elhelyezkedésük alapján. (Lásd konfigurációs entrópia.) Ha a doboz azonos részecskéket tartalmaz, és egyensúlyban van, és beillesztünk egy partíciót, amely kettéosztja a térfogatot, akkor az egyik dobozban lévő részecskék most már megkülönböztethetők a másik dobozban lévőktől. A fázistérben az egyes dobozokban lévő N/2 részecske most V/2 térfogatra, energiájuk pedig U/2-re korlátozódik, és az egyetlen mikroállapotot leíró pontok száma megváltozik: a fázistér leírása nem ugyanaz.
Ez mind a Gibbs-paradoxonra, mind a helyes Boltzmann-számlálásra hatással van. Ami a Boltzmann-számlálást illeti, a fázistér pontjainak sokasága az, ami ténylegesen csökkenti a mikroállapotok számát, és kiterjedtté teszi az entrópiát. A Gibb-paradoxon tekintetében az a fontos eredmény, hogy a mikroállapotok számának (és így az entrópia növekedésének) a partíció beillesztéséből eredő növekedését pontosan ellensúlyozza a mikroállapotok számának (és így az entrópia csökkenésének) az egyes részecskék számára rendelkezésre álló térfogat csökkenéséből eredő csökkenése, ami nulla nettó entrópiaváltozást eredményez.