A kinematikus közelítés érvénytelenné válik, ha a mágneses tér elég erős lesz ahhoz, hogy befolyásolja a folyadék mozgását. Ebben az esetben a sebességmezőre hatással lesz a Lorentz-erő, és így az indukciós egyenlet már nem lineáris a mágneses térben. Ez a legtöbb esetben a dinamó amplitúdójának csillapodásához vezet. Az ilyen dinamókat néha hidromágneses dinamóknak is nevezik, az asztrofizikában és geofizikában gyakorlatilag minden dinamó hidromágneses dinamó.
Az elmélet lényege, hogy a külső magban létező bármilyen kis mágneses tér a Lorenz-erő hatására áramokat hoz létre az ott mozgó folyadékban. Ezek az áramok az Ampere-törvény miatt további mágneses teret hoznak létre. A folyadék mozgásával az áramokat úgy viszik tovább, hogy a mágneses tér erősödik (amíg u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
negatív). Így egy “magvető” mágneses mező egyre erősebbé és erősebbé válhat, amíg el nem ér valamilyen értéket, amely a meglévő nem mágneses erőkhöz kapcsolódik.
A teljesen nemlineáris dinamók szimulálására numerikus modelleket használnak. A következő egyenleteket használják:
- A fent bemutatott indukciós egyenlet.
- Maxwell egyenletei elhanyagolható elektromos térre:
∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}
∇ × B = μ 0 J {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
- A tömegmegmaradás folytonossági egyenlete, amelyre gyakran használják a Boussinesq-közelítést:
∇ ⋅ u = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}
- A Navier-Stokes-egyenlet az impulzusmegmaradásra, szintén ugyanebben a közelítésben, külső erőként a mágneses és a gravitációs erővel:
D u D t = – 1 ρ 0 ∇ p + ν ∇ 2 u + ρ ′ g + 2 Ω × u + Ω × Ω × R + 1 ρ 0 J × B , {\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\rho ‘\mathbf {g} +2\mathbf {\Omega} \times \mathbf {u} +\mathbf {\Omega } \times \mathbf {\Omega } \times \mathbf {R} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\mathbf {J} \times \mathbf {B} ,}
ahol ν {\displaystyle \nu }
a kinematikai viszkozitás, ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}}
az átlagos sűrűség és ρ ′ {\displaystyle \rho ‘}
a felhajtóerőt biztosító relatív sűrűségperturbáció (termikus konvekció esetén ρ ′ = α Δ T {\displaystyle \rho ‘=\alpha \Delta T}
ahol α {\displaystyle \alpha }
a hőtágulási együttható), Ω {\displaystyle \Omega }
a Föld forgási sebessége, és J {\displaystyle \mathbf {J} }
az elektromos áramsűrűség.
- Transzportegyenlet, általában a hőre (néha a könnyű elemek koncentrációjára):
∂ T ∂ t = κ ∇ 2 T + ϵ {\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\kappa \nabla ^{2}T+\epsilon }
ahol T a hőmérséklet, κ = k / ρ c p {\displaystyle \kappa =k/\rho c_{p}}
a hővezető képesség, k hővezetési tényezővel, c p {\displaystyle c_{p}}
hőkapacitás, és ρ {\displaystyle \rho }
sűrűség, és ϵ {\displaystyle \epsilon }
egy opcionális hőforrás. Gyakran a nyomás a dinamikus nyomás, a hidrosztatikus nyomás és a centripetális potenciál eltávolításával.
Ezeket az egyenleteket ezután dimenziómentesítjük, bevezetve a dimenziómentes paramétereket,
R a = g α T D 3 ν κ , E = ν Ω D 2 , P r = ν κ , P m = ν η {\displaystyle Ra={\frac {g\alpha TD^{3}}{\nu \kappa }},E={\frac {\nu }{\Omega D^{2}}},Pr={\frac {\nu }{\kappa }},Pm={\frac {\nu }{\eta }}}
ahol Ra a Rayleigh-szám, E az Ekman-szám, Pr és Pm a Prandtl- és a mágneses Prandtl-szám. A mágneses tér skálázása gyakran Elsasser-szám egységekben B = ( ρ Ω / σ ) 1 / 2 {\displaystyle B=(\rho \Omega /\sigma )^{1/2}}
.
Energiaátalakítás a mágneses és a kinematikai energia közöttSzerkesztés
A Navier-Stokes-egyenlet fenti formájának skaláris szorzata ρ 0 u {\displaystyle \rho _{0}\mathbf {u} }
adja a kinetikus energiasűrűség növekedési sebességét, ( 1 / 2 ) ρ 0 u 2 {\displaystyle (1/2)\rho _{0}u^{2}}}
, a baloldalon. A jobb oldali utolsó tag tehát u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
, a Lorentz-erőnek a mozgási energiához való helyi hozzájárulása.
Az indukciós egyenlet skaláris szorzata ( 1 / μ 0 ) B {\displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} }
adja a mágneses energiasűrűség növekedési ütemét, ( 1 / 2 μ 0 ) B 2 {\displaystyle (1/2\mu _{0})B^{2}}}
, a baloldalon. A jobb oldali utolsó kifejezés ezután ( 1 / μ 0 ) B ⋅ ( ∇ × ( u × B ) ) {\displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} \cdot \left(\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )\right)}
. Mivel az egyenlet térfogatintegrált, ez a kifejezés egy peremtételtől eltekintve (és a skaláris hármas szorzat azonosságának kétszeri alkalmazásával) egyenértékű a – u ⋅ ( ( ( 1 / μ 0 ) ( ∇ × B ) × B ) ) ) = – u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot \left((1/\mu _{0})(\nabla \times \mathbf {B} )\times \mathbf {B} )\right)=-\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )} }
(ahol a Maxwell-egyenletek egyikét használtuk). Ez a folyadék mozgása miatt a mágneses energiához való helyi hozzájárulás.
Ezért a kifejezés – u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )} {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
a mozgási energia mágneses energiává való átalakulásának sebessége. Ennek legalább a térfogat egy részében nem negatívnak kell lennie, hogy a dinamó mágneses mezőt tudjon létrehozni.
A fenti diagramból nem világos, hogy ennek a kifejezésnek miért kell pozitívnak lennie. Egy egyszerű érv a nettó hatások figyelembevételén alapulhat. A mágneses tér létrehozásához a nettó elektromos áramnak a bolygó forgástengelye körül kell tekerednie. Ebben az esetben ahhoz, hogy a kifejezés pozitív legyen, a vezető anyag nettó áramlásának a forgástengely felé kell irányulnia. Az ábra csak a pólusoktól az egyenlítő felé irányuló nettó áramlást mutatja. A tömegmegőrzés azonban további áramlást követel meg az egyenlítőtől a pólusok felé. Ha ez az áramlás a forgástengely mentén lenne, akkor ez azt jelenti, hogy a körforgást kiegészítené egy áramlás az ábrázoltakból a forgástengely felé, ami a kívánt hatást eredményezné.
A Föld dinamója által létrehozott mágneses mező nagyságrendjeSzerkesztés
A mozgási energia mágneses energiává alakításának fenti képlete a J × B {\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
a külső maganyagra, amelynek sebessége u {\displaystyle \mathbf {u} }
. Ez a munka a folyadékra ható nem mágneses erők eredménye.
Ezek közül a gravitációs erő és a centrifugális erő konzervatív, ezért összességében nem járulnak hozzá a zárt hurkokban mozgó folyadékhoz. Az Ekman-szám (a fenti definíció szerint), amely a két fennmaradó erő, nevezetesen a viszkozitás és a Coriolis-erő aránya, nagyon alacsony a Föld külső magjában, mivel annak viszkozitása alacsony (1,2-1.5 x10-2 pascal-szekundum ) a folyékonysága miatt.
Ezért a fő időátlagolt hozzájárulást a munkához a Coriolis-erő adja, amelynek nagysága – 2 ρ Ω × u {\displaystyle -2\rho \,\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} }
, bár ez a mennyiség és J × B {\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
csak közvetve kapcsolódnak egymáshoz, és általában lokálisan nem egyenlők (tehát hatnak egymásra, de nem ugyanabban a helyen és időben).
A J áramsűrűség maga az Ohm-törvény szerinti mágneses tér eredménye. Ismétlem, az anyag mozgása és az áramáramlás miatt ez nem feltétlenül azonos helyen és időben a mező. Ezek az összefüggések azonban még mindig felhasználhatók a szóban forgó mennyiségek nagyságrendjeinek levezetésére.
A nagyságrendek szempontjából J B ∼ ρ Ω u {\displaystyle J\,B\sim \rho \,\Omega \,u}
és J ∼ σ u B {\displaystyle J\sim \sigma uB}
, így σ u B 2 ∼ ρ Ω u {\displaystyle \sigma \,u\,B^{2}\sim \rho \,\Omega \,u}
, ill: B ∼ ρ Ω Ω σ {\displaystyle B\sim {\sqrt {\frac {\rho \,\Omega }{\sigma }}}}
A két oldal pontos hányadosa az Elsasser-szám négyzetgyöke.
Megjegyezzük, hogy a mágneses tér irányára ebből a közelítésből nem lehet következtetni (legalábbis az előjelére nem), mivel négyzetesen jelenik meg, sőt, néha fordítva is, bár általában az Ω {\displaystyle \mathbf {\Omega }hoz hasonló tengelyen fekszik. }
.
A Föld külső magja esetében ρ körülbelül 104 kg/m3, Ω=2π/nap = 7,3×10-5 másodperc és σ körülbelül 107Ω-1m-1. Ez 2,7×10-4 Teslát ad.
A mágneses dipólus mágneses tere fordított köbös függést mutat a távolsággal, így nagyságrendje a földfelszínen úgy közelíthető meg, hogy a fenti eredményt megszorozzuk (Router core/REarth)3 = (2890/6370)3 = 0,093-mal, ami 2,5×10-5 Teslát ad, ami nem áll messze az Egyenlítőnél mért 3×10-5 Tesla értéktől.