L’approximation cinématique devient invalide lorsque le champ magnétique devient assez fort pour affecter les mouvements du fluide. Dans ce cas, le champ de vitesse devient affecté par la force de Lorentz, et donc l’équation d’induction n’est plus linéaire dans le champ magnétique. Dans la plupart des cas, cela conduit à une atténuation de l’amplitude de la dynamo. De telles dynamos sont parfois aussi appelées dynamos hydromagnétiques.Pratiquement toutes les dynamos en astrophysique et en géophysique sont des dynamos hydromagnétiques.
L’idée principale de la théorie est que tout petit champ magnétique existant dans le noyau externe crée des courants dans le fluide en mouvement à cet endroit en raison de la force de Lorenz. Ces courants créent un autre champ magnétique en raison de la loi d’Ampère. Avec le mouvement du fluide, les courants sont transportés de telle sorte que le champ magnétique devient plus fort (tant que u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}.
est négatif). Ainsi, un champ magnétique « germe » peut devenir de plus en plus fort jusqu’à atteindre une certaine valeur liée aux forces non magnétiques existantes.
Des modèles numériques sont utilisés pour simuler des dynamos entièrement non linéaires. Les équations suivantes sont utilisées :
- L’équation d’induction, présentée ci-dessus.
- Les équations de Maxwell pour un champ électrique négligeable :
∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}.
∇ × B = μ 0 J {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
- L’équation de continuité pour la conservation de la masse, pour laquelle l’approximation de Boussinesq est souvent utilisée :
∇ ⋅ u = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}
- L’équation de Navier-Stokes pour la conservation de la quantité de mouvement, toujours dans la même approximation, avec la force magnétique et la force de gravitation comme forces extérieures :
D u D t = – 1 ρ 0 ∇ p + ν ∇ 2 u + ρ ′ g + 2 Ω × u + Ω × Ω × R + 1 ρ 0 J × B , {\displaystyle {\frac {D\mathbf {u}} }{Dt}=-{\frac {1}{\rho _{0}}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\rho ‘\mathbf {g} +2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} +\mathbf {\Omega } \times \mathbf {\Omega } \times \mathbf {R} +{\frac {1}{\rho _{0}}\mathbf {J} \times \mathbf {B} ,}
où ν {\displaystyle \nu }
est la viscosité cinématique, ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}}
est la densité moyenne et ρ ′ {\displaystyle \rho ‘}
est la perturbation de la densité relative qui assure la flottabilité (pour la convection thermique ρ ′ = α Δ T {\displaystyle \rho’=\alpha \Delta T}
où α {\displaystyle \alpha }
est le coefficient de dilatation thermique), Ω {\displaystyle \Omega }
est la vitesse de rotation de la Terre, et J {\displaystyle \mathbf {J} }
est la densité de courant électrique.
- Equation de transport, généralement de la chaleur (parfois de la concentration d’éléments légers):
∂ T ∂ t = κ ∇ 2 T + ϵ {\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\kappa \nabla ^{2}T+\epsilon }
où T est la température, κ = k / ρ c p {\displaystyle \kappa =k/\rho c_{p}}
est la diffusivité thermique avec une conductivité thermique k, c p {\displaystyle c_{p}}
capacité thermique, et ρ {\displaystyle \rho }
densité, et ϵ {\displaystyle \epsilon }
est une source de chaleur facultative. Souvent, la pression est la pression dynamique, la pression hydrostatique et le potentiel centripète étant supprimés.
Ces équations sont ensuite non dimensionnées, en introduisant les paramètres non dimensionnels,
R a = g α T D 3 ν κ , E = ν Ω D 2 , P r = ν κ , P m = ν η Ra={\frac {g\alpha TD^{3}}{\nu \kappa }},E={\frac {\nu }{\N{\i1}Omega D^{2}}},Pr={\frac {\nu }{\kappa }},Pm={\frac {\nu }{\eta }}}.
où Ra est le nombre de Rayleigh, E le nombre d’Ekman, Pr et Pm le nombre de Prandtl et le nombre de Prandtl magnétique. La mise à l’échelle du champ magnétique est souvent en unités de nombre d’Elsasser B = ( ρ Ω / σ ) 1 / 2 {\displaystyle B=(\rho \Omega /\sigma )^{1/2}}.
.
Conversion d’énergie entre l’énergie magnétique et l’énergie cinématiqueEdit
Le produit scalaire de la forme ci-dessus de l’équation de Navier-Stokes avec ρ 0 u {\displaystyle \rho _{0}\mathbf {u}}. }
donne le taux d’augmentation de la densité d’énergie cinétique, ( 1 / 2 ) ρ 0 u 2 {\displaystyle (1/2)\rho _{0}u^{2}}.
, du côté gauche. Le dernier terme du côté droit est alors u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
, la contribution locale à l’énergie cinétique due à la force de Lorentz.
Le produit scalaire de l’équation d’induction avec ( 1 / μ 0 ) B {\displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B}. }
donne le taux d’augmentation de la densité d’énergie magnétique, ( 1 / 2 μ 0 ) B 2 {\displaystyle (1/2\mu _{0})B^{2}}.
, du côté gauche. Le dernier terme du côté droit est alors ( 1 / μ 0 ) B ⋅ ( ∇ × ( u × B ) ) {\displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} \cdot \left(\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )\right)}
. Puisque l’équation est intégrée dans le volume, ce terme est équivalent jusqu’à un terme limite (et avec la double utilisation de l’identité du triple produit scalaire) à – u ⋅ ( ( 1 / μ 0 ) ( ∇ × B ) × B ) ) = – u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot \left((1/\mu _{0})(\nabla \times \mathbf {B})\times \mathbf {B} )\right)=-\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
(où une des équations de Maxwell a été utilisée). Il s’agit de la contribution locale à l’énergie magnétique due au mouvement du fluide.
Donc le terme – u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
est le taux de transformation de l’énergie cinétique en énergie magnétique. Il faut que ce taux soit non négatif au moins dans une partie du volume, pour que la dynamo produise un champ magnétique.
D’après le schéma ci-dessus, on ne voit pas pourquoi ce terme devrait être positif. Un argument simple peut être basé sur la considération des effets nets. Pour créer le champ magnétique, le courant électrique net doit s’enrouler autour de l’axe de rotation de la planète. Dans ce cas, pour que le terme soit positif, le flux net de matière conductrice doit être dirigé vers l’axe de rotation. Le diagramme ne montre qu’un flux net des pôles vers l’équateur. Cependant, la conservation de la masse exige un flux supplémentaire de l’équateur vers les pôles. Si ce flux était le long de l’axe de rotation, cela implique que la circulation serait complétée par un flux de ceux montrés vers l’axe de rotation, produisant l’effet désiré.
Ordre de grandeur du champ magnétique créé par la dynamo terrestreEdit
La formule ci-dessus pour le taux de conversion de l’énergie cinétique en énergie magnétique, est équivalente à un taux de travail effectué par une force de J × B {\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
sur la matière du noyau externe, dont la vitesse est u {\displaystyle \mathbf {u} }
. Ce travail est le résultat de forces non magnétiques agissant sur le fluide.
Parmi celles-ci, la force gravitationnelle et la force centrifuge sont conservatrices et n’ont donc aucune contribution globale au fluide se déplaçant en boucle fermée. Le nombre d’Ekman (défini ci-dessus), qui est le rapport entre les deux forces restantes, à savoir la viscosité et la force de Coriolis, est très faible à l’intérieur du noyau externe de la Terre, car sa viscosité est faible (1,2-1.5 x10-2 pascal-seconde ) en raison de sa liquidité.
Donc la principale contribution au travail, moyennée dans le temps, provient de la force de Coriolis, dont la taille est – 2 ρ Ω × u {\displaystyle -2\rho \,\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} }
, bien que cette quantité et J × B {\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
ne soient liées qu’indirectement et ne soient en général pas égales localement (elles s’affectent donc mutuellement mais pas au même endroit et au même moment).
La densité de courant J est elle-même le résultat du champ magnétique selon la loi d’Ohm. Là encore, en raison du mouvement de la matière et du passage du courant, ce n’est pas forcément le champ au même endroit et au même moment. Cependant, ces relations peuvent encore être utilisées pour déduire des ordres de grandeur des quantités en question.
En termes d’ordre de grandeur, J B ∼ ρ Ω u {\displaystyle J\,B\sim \rho \,\Omega \,u}
et J ∼ σ u B {\displaystyle J\sim \sigma uB}.
, ce qui donne σ u B 2 ∼ ρ Ω u {\displaystyle \sigma \,u\,B^{2}\sim \rho \,\Omega \,u}
, ou : B ∼ ρ Ω σ {\displaystyle B\sim {\sqrt {\frac {\rho \,\Omega }{\sigma }}}}}
Le rapport exact entre les deux côtés est la racine carrée du nombre d’Elsasser.
Notez que la direction du champ magnétique ne peut être déduite de cette approximation (du moins pas son signe) car elle apparaît au carré, et est, en effet, parfois inversée, bien qu’en général elle se trouve sur un axe similaire à celui de Ω {\displaystyle \mathbf {\Omega } }. }
.
Pour le noyau externe de la terre, ρ est approximativement 104 kg/m3, Ω=2π/jour = 7,3×10-5 secondes et σ est approximativement 107Ω-1m-1.Cela donne 2,7×10-4 Tesla.
Le champ magnétique d’un dipôle magnétique a une dépendance cubique inverse en fonction de la distance, donc son ordre de grandeur à la surface de la terre peut être approximé en multipliant le résultat ci-dessus par (noyau routeur/terre)3 = (2890/6370)3 = 0,093, ce qui donne 2,5×10-5 Tesla, pas loin de la valeur mesurée de 3×10-5 Tesla à l’équateur.