Espace des phases classiqueEdit
La description d’un système classique de F degrés de liberté peut être énoncée en termes d’un espace des phases de 2F dimensions, dont les axes de coordonnées sont constitués des F coordonnées généralisées qi du système, et de ses F moments généralisés pi. Le micro-état d’un tel système sera spécifié par un seul point dans l’espace des phases. Mais pour un système avec un grand nombre de degrés de liberté, son micro-état exact n’est généralement pas important. L’espace des phases peut donc être divisé en cellules de taille h0=ΔqiΔpi , chacune étant traitée comme un micro-état. Maintenant les micro-états sont discrets et dénombrables et l’énergie interne U n’a plus une valeur exacte mais se situe entre U et U+δU, avec δ U ≪ U {\textstyle \delta U\ll U}.
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Le nombre de micro-états Ω qu’un système fermé peut occuper est proportionnel au volume de son espace des phases :
où 1 δ U ( H ( x ) – U ) {\textstyle \mathbf {1} _{\delta U}(H(x)-U)}
est une fonction Indicateur. Elle vaut 1 si la fonction de Hamilton H(x) au point x = (q,p) dans l’espace des phases est comprise entre U et U+ δU et 0 sinon. La constante 1 h 0 F {\textstyle {\frac {1}{h_{0}^{\mathcal {F}}}}}}.
rend Ω(U) sans dimension. Pour un gaz idéal est Ω ( U ) ∝ F U F 2 – 1 δ U {\displaystyle \Omega (U)\propto {\mathcal {F}}U^{{\frac {\mathcal {F}}{2}}-1}\delta U}}.
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Dans cette description, les particules sont distinguables. Si la position et la quantité de mouvement de deux particules sont échangées, le nouvel état sera représenté par un point différent dans l’espace des phases. Dans ce cas, un seul point représentera un micro-état. Si un sous-ensemble de M particules sont indiscernables les unes des autres, alors les M ! permutations ou échanges possibles de ces particules seront comptabilisés comme faisant partie d’un seul micro-état. L’ensemble des micro-états possibles se reflète également dans les contraintes qui pèsent sur le système thermodynamique.
Par exemple, dans le cas d’un gaz simple de N particules d’énergie totale U contenues dans un cube de volume V, dans lequel un échantillon du gaz ne peut être distingué de tout autre échantillon par des moyens expérimentaux, un micro-état sera constitué des N ! points dans l’espace des phases, et l’ensemble des micro-états sera contraint à ce que toutes les coordonnées de position se situent à l’intérieur de la boîte, et que les moments se situent sur une surface hypersphérique en coordonnées de moment de rayon U. Si, par contre, le système consiste en un mélange de deux gaz différents, dont les échantillons peuvent être distingués l’un de l’autre, disons A et B, alors le nombre de micro-états est augmenté, puisque deux points dans lesquels une particule A et B sont échangées dans l’espace des phases ne font plus partie du même micro-état. Deux particules identiques peuvent néanmoins être distinguées en fonction, par exemple, de leur emplacement. (Voir entropie configurationnelle.) Si la boîte contient des particules identiques, et qu’elle est à l’équilibre, et qu’une partition est insérée, divisant le volume en deux, les particules d’une boîte sont maintenant distinguables de celles de la seconde boîte. Dans l’espace de phase, les N/2 particules de chaque boîte sont maintenant restreintes à un volume V/2, et leur énergie restreinte à U/2, et le nombre de points décrivant un seul micro-état va changer : la description de l’espace de phase n’est pas la même.
Cela a des implications à la fois dans le paradoxe de Gibbs et dans le comptage correct de Boltzmann. En ce qui concerne le comptage de Boltzmann, c’est la multiplicité des points dans l’espace de phase qui réduit effectivement le nombre de micro-états et rend l’entropie extensive. En ce qui concerne le paradoxe de Gibb, le résultat important est que l’augmentation du nombre de micro-états (et donc l’augmentation de l’entropie) résultant de l’insertion de la cloison est exactement compensée par la diminution du nombre de micro-états (et donc la diminution de l’entropie) résultant de la réduction du volume disponible pour chaque particule, ce qui donne une variation nette d’entropie de zéro.