Une géodésique sur un collecteur lisse M avec une connexion affine ∇ est définie comme une courbe γ(t) telle que le transport parallèle le long de la courbe préserve le vecteur tangent à la courbe, alors
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∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}
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(1) |
à chaque point de la courbe, où γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}}.
est la dérivée par rapport à t {\displaystyle t}.
. Plus précisément, afin de définir la dérivée covariante de γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}}.
il faut d’abord étendre γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}}.
à un champ de vecteurs continuellement différentiable dans un ensemble ouvert. Cependant, la valeur résultante de (1) est indépendante du choix de l’extension.
En utilisant les coordonnées locales sur M, nous pouvons écrire l’équation géodésique (en utilisant la convention de sommation) comme
d 2 γ λ d t 2 + Γ μ ν λ d γ μ d t d γ ν d t = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,
où γ μ = x μ ∘ γ ( t ) {\displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)}
sont les coordonnées de la courbe γ(t) et Γ μ ν λ {\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}
sont les symboles de Christoffel de la connexion ∇. Il s’agit d’une équation différentielle ordinaire pour les coordonnées. Elle a une solution unique, étant donné une position initiale et une vitesse initiale. Par conséquent, du point de vue de la mécanique classique, les géodésiques peuvent être considérées comme des trajectoires de particules libres dans un collecteur. En effet, l’équation ∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}
signifie que le vecteur accélération de la courbe n’a pas de composantes dans la direction de la surface (et donc il est perpendiculaire au plan tangent de la surface en chaque point de la courbe). Ainsi, le mouvement est entièrement déterminé par la courbure de la surface. C’est aussi l’idée de la relativité générale où les particules se déplacent sur des géodésiques et la courbure est causée par la gravité.
Existence et unicitéModifié
Le théorème d’existence et d’unicité locale des géodésiques stipule que les géodésiques sur un collecteur lisse avec une connexion affine existent, et sont uniques. Plus précisément :
Pour tout point p dans M et pour tout vecteur V dans TpM (l’espace tangent à M en p), il existe une géodésique unique γ {\displaystyle \gamma \,}
: I → M telle que γ ( 0 ) = p {\displaystyle \gamma (0)=p\,}
et γ ˙ ( 0 ) = V , {\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=V,}
où I est un intervalle ouvert maximal dans R contenant 0.
La preuve de ce théorème découle de la théorie des équations différentielles ordinaires, en remarquant que l’équation géodésique est une EDO du second ordre. L’existence et l’unicité découlent alors du théorème de Picard-Lindelöf pour les solutions des EDO avec des conditions initiales prescrites. γ dépend de façon lisse à la fois de p et de V.
En général, I peut ne pas être tout R comme par exemple pour un disque ouvert dans R2. Tout γ s’étend à l’ensemble de ℝ si et seulement si M est géodésiquement complet.
Flux géodésiqueEdit
Le flux géodésique est une action R locale sur le faisceau tangent TM d’une manifold M définie de la manière suivante
G t ( V ) = γ ˙ V ( t ) {\displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)}.
où t ∈ R, V ∈ TM et γ V {\displaystyle \gamma _{V}}.
désigne la géodésique avec les données initiales γ ˙ V ( 0 ) = V {\displaystyle {\dot {\gamma }}_{V}(0)=V}.
. Ainsi, G t {\displaystyle G^{t}}
(V) = exp(tV) est la carte exponentielle du vecteur tV. Une orbite fermée du flux géodésique correspond à une géodésique fermée sur M.
Sur un collecteur (pseudo-)riemannien, le flux géodésique est identifié à un flux hamiltonien sur le faisceau cotangent. L’hamiltonien est alors donné par l’inverse de la métrique (pseudo-)riemannienne, évalué par rapport à la forme unique canonique. En particulier, le flux préserve la métrique (pseudo-)riemannienne g {\displaystyle g}.
, c’est-à-dire g ( G t ( V ) , G t ( V ) ) = g ( V , V ) . {\displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}
En particulier, lorsque V est un vecteur unitaire, γ V {\displaystyle \gamma _{V}}.
reste de vitesse unitaire tout au long, donc le flux géodésique est tangent au faisceau tangent unitaire. Le théorème de Liouville implique l’invariance d’une mesure cinématique sur le faisceau tangent unitaire.
Jet géodésiqueEdit
Le flux géodésique définit une famille de courbes dans le faisceau tangent. Les dérivées de ces courbes définissent un champ de vecteurs sur l’espace total du faisceau tangent, appelé gerbe géodésique.
Plus précisément, une connexion affine donne lieu à une division du double faisceau tangent TTM en faisceaux horizontal et vertical :
T T M = H ⊕ V . {\displaystyle TTM=H\oplus V.}
Le jet géodésique est l’unique champ vectoriel horizontal W satisfaisant
π ∗ W v = v {\displaystyle \pi _{*}W_{v}=v\,}
à chaque point v ∈ TM ; ici π∗ : TTM → TM désigne le pushforward (différentiel) le long de la projection π : TM → M associée au faisceau tangent.
Plus généralement, la même construction permet de construire un champ de vecteurs pour toute connexion d’Ehresmann sur le faisceau tangent. Pour que le champ vectoriel résultant soit une gerbe (sur le faisceau tangent supprimé TM \ {0}), il suffit que la connexion soit équivariante sous les remises à l’échelle positives : elle n’a pas besoin d’être linéaire. C’est-à-dire que (cf. Connexion d’Ehresmann#Faisceaux de vecteurs et dérivées covariantes) il suffit que la distribution horizontale satisfasse
H λ X = d ( S λ ) X H X {\displaystyle H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,}
pour tout X ∈ TM \ {0} et λ > 0. Ici d(Sλ) est le pushforward le long de l’homothétie scalaire S λ : X ↦ λ X . {\displaystyle S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.}
Un cas particulier de connexion non linéaire survenant de cette manière est celle associée à un collecteur de Finsler.
Géodésiques affines et projectivesEdit
L’équation (1) est invariante sous des reparamétrisations affines ; c’est-à-dire des paramétrisations de la forme
t ↦ a t + b {\displaystyle t\mapsto at+b}.
où a et b sont des nombres réels constants. Ainsi, en plus de spécifier une certaine classe de courbes encastrées, l’équation géodésique détermine également une classe préférée de paramétrisations sur chacune des courbes. En conséquence, les solutions de (1) sont appelées géodésiques à paramètre affine.
Une connexion affine est déterminée par sa famille de géodésiques à paramètre affine, jusqu’à torsion (Spivak 1999, chapitre 6, addendum I). La torsion elle-même n’affecte pas, en fait, la famille de géodésiques, puisque l’équation des géodésiques ne dépend que de la partie symétrique de la connexion. Plus précisément, si ∇ , ∇ ¯ {\displaystyle \nabla ,{\bar {\nabla }}}
sont deux connexions telles que le tenseur de différence D ( X , Y ) = ∇ X Y – ∇ ¯ X Y {\displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}
